Как доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если известны углы или стороны?

Для доказательства, что четырехугольник ABCD — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или что противоположные углы равны. а) Если углы $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то это означает, что прямые AB и CD параллельны (так как $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — накрест лежащие углы при секущей AC). Аналогично, прямые BC и AD тоже параллельны (так как $\angle BCA$ и $\angle DAC$ — накрест лежащие углы при секущей AC). Если обе пары противоположных сторон параллельны, то ABCD — параллелограмм. б) Если AB || CD и $\angle A = \angle C$, то это уже говорит о том, что одна пара сторон параллельна. Чтобы доказать, что это параллелограмм, нужно показать, что вторая пара сторон тоже параллельна или что $\angle B = \angle D$. Так как сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, и $\angle A = \angle C$, то $\angle B + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle C)$. Если $\angle A = \angle C$, то $\angle B = \angle D$, и ABCD — параллелограмм.