Реши примеры 19-35 на упрощение выражений со степенями

Конечно, я помогу тебе с этими заданиями! Давай разберем их по порядку. Главное, не переживай, если что-то сразу не получается, — математика требует практики! 19. $\frac{a^{3.33}}{a^{2.11} \cdot a^{2.22}}$ при $a = \frac{2}{7}$ * Сначала упростим выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для знаменателя: $$a^{2.11} \cdot a^{2.22} = a^{2.11 + 2.22} = a^{4.33}$$ * Теперь у нас есть $\frac{a^{3.33}}{a^{4.33}}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{a^{3.33}}{a^{4.33}} = a^{3.33 - 4.33} = a^{-1}$$ * $a^{-1}$ это то же самое, что $\frac{1}{a}$. Теперь подставим $a = \frac{2}{7}$: $$\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{7}} = \frac{7}{2} = 3.5$$ **Ответ: 3.5** 20. $a^{0.65} \cdot a^{0.67} \cdot a^{0.68}$ при $a = 11$ * Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$a^{0.65} \cdot a^{0.67} \cdot a^{0.68} = a^{0.65 + 0.67 + 0.68} = a^{2.00} = a^2$$ * Теперь подставим $a = 11$: $$11^2 = 121$$ **Ответ: 121** 21. $\frac{6n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}}}$ при $n > 0$ * Сначала упростим знаменатель, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = n^{\frac{4}{12}} = n^{\frac{1}{3}}$$ * Теперь у нас есть $\frac{6n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}}$. Сокращаем $n^{\frac{1}{3}}$ в числителе и знаменателе: $$\frac{6n^{\frac{1}{3}}}{n^{\frac{1}{3}}} = 6$$ **Ответ: 6** 22. $\frac{(9b)^{1.5} \cdot b^{2.7}}{b^{0.2}}$ при $b > 0$ *Допущение: в условии $(9b)^{1.5}$ имеется в виду $(9 \cdot b)^{1.5}$* * Представим $9$ как $3^2$, тогда $(9b)^{1.5} = (3^2 \cdot b)^{1.5} = 3^{2 \cdot 1.5} \cdot b^{1.5} = 3^3 \cdot b^{1.5} = 27b^{1.5}$ * Теперь перепишем выражение: $$\frac{27b^{1.5} \cdot b^{2.7}}{b^{0.2}}$$ * Упростим числитель, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$b^{1.5} \cdot b^{2.7} = b^{1.5 + 2.7} = b^{4.2}$$ * Теперь у нас есть $\frac{27b^{4.2}}{b^{0.2}}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{27b^{4.2}}{b^{0.2}} = 27b^{4.2 - 0.2} = 27b^4$$ **Ответ: $27b^4$** (в таком виде и оставляем, так как значение $b$ не дано) 23. $\frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}}}$ при $n = 64$ * Сначала упростим знаменатель, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$n^{\frac{1}{12}} \cdot n^{\frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{1}{4}} = n^{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = n^{\frac{4}{12}} = n^{\frac{1}{3}}$$ * Теперь у нас есть $\frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = n^{\frac{3}{6}} = n^{\frac{1}{2}}$$ * $n^{\frac{1}{2}}$ это то же самое, что $\sqrt{n}$. Теперь подставим $n = 64$: $$\sqrt{64} = 8$$ **Ответ: 8** 24. $\frac{6\sqrt[3]{3} \cdot 7\sqrt[3]{3}}{42\sqrt{3-1}}$ *Допущение: в условии $42\sqrt{3-1}$ имеется в виду $42 \cdot \sqrt{3} - 1$* * Сначала упростим числитель: $$6\sqrt[3]{3} \cdot 7\sqrt[3]{3} = 6 \cdot 7 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} = 42 \cdot (\sqrt[3]{3})^2 = 42 \cdot \sqrt[3]{9}$$ * Теперь перепишем выражение: $$\frac{42 \cdot \sqrt[3]{9}}{42\sqrt{3} - 1}$$ * Сократим 42 в числителе и знаменателе: $$\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{3} - 1}$$ Так и оставим, потому что дальше не упростить. 25. $3\sqrt{5} + 10 \cdot 3 - 5 - \sqrt{5}$ * Сначала выполним умножение: $$10 \cdot 3 = 30$$ * Теперь перепишем выражение: $$3\sqrt{5} + 30 - 5 - \sqrt{5}$$ * Соберем вместе подобные члены (то есть числа с $\sqrt{5}$ и обычные числа): $$(3\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (30 - 5) = 2\sqrt{5} + 25$$ **Ответ: $2\sqrt{5} + 25$** 26. $\frac{b^{3\sqrt{2} + 2}}{(b^{\sqrt{2}})^3}$ при $b = 6$ * Сначала упростим знаменатель, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$(b^{\sqrt{2}})^3 = b^{3\sqrt{2}}$$ * Теперь у нас есть $\frac{b^{3\sqrt{2} + 2}}{b^{3\sqrt{2}}} $. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{b^{3\sqrt{2} + 2}}{b^{3\sqrt{2}}} = b^{(3\sqrt{2} + 2) - 3\sqrt{2}} = b^2$$ * Теперь подставим $b = 6$: $$6^2 = 36$$ **Ответ: 36** 27. $b^5 : b^9 \cdot b^6$ при $b = 0.01$ * Сначала выполним деление, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$b^5 : b^9 = \frac{b^5}{b^9} = b^{5-9} = b^{-4}$$ * Теперь у нас есть $b^{-4} \cdot b^6$. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$b^{-4} \cdot b^6 = b^{-4 + 6} = b^2$$ * Теперь подставим $b = 0.01$: $$(0.01)^2 = 0.0001$$ **Ответ: 0.0001** 28. $(5^{12})^3 : 5^{37}$ * Сначала упростим $(5^{12})^3$, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$(5^{12})^3 = 5^{12 \cdot 3} = 5^{36}$$ * Теперь у нас есть $5^{36} : 5^{37}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$5^{36} : 5^{37} = \frac{5^{36}}{5^{37}} = 5^{36 - 37} = 5^{-1}$$ * $5^{-1}$ это то же самое, что $\frac{1}{5}$: $$\frac{1}{5} = 0.2$$ **Ответ: 0.2** 29. $(4b)^3 : b^9 \cdot b^5$ при $b = 128$ * Сначала упростим $(4b)^3$, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n \cdot b^n$: $$(4b)^3 = 4^3 \cdot b^3 = 64b^3$$ * Теперь у нас есть $64b^3 : b^9 \cdot b^5$. Сначала выполним деление: $$\frac{64b^3}{b^9} = 64b^{3-9} = 64b^{-6}$$ * Теперь умножим на $b^5$: $$64b^{-6} \cdot b^5 = 64b^{-6+5} = 64b^{-1} = \frac{64}{b}$$ * Теперь подставим $b = 128$: $$\frac{64}{128} = \frac{1}{2} = 0.5$$ **Ответ: 0.5** 30. $x \cdot 3^{2x+1} \cdot 9^{-x}$ при $x = 5$ * Заметим, что $9 = 3^2$, значит $9^{-x} = (3^2)^{-x} = 3^{-2x}$: $$x \cdot 3^{2x+1} \cdot 3^{-2x}$$ * Теперь используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$3^{2x+1} \cdot 3^{-2x} = 3^{2x+1-2x} = 3^1 = 3$$ * Теперь у нас есть $x \cdot 3$. Подставим $x = 5$: $$5 \cdot 3 = 15$$ **Ответ: 15** 31. $6x \cdot (3x^{12})^3 : (3x^9)^4$ при $x = 75$ * Сначала раскроем скобки, используя свойство степеней $(ab)^n = a^n \cdot b^n$: $$(3x^{12})^3 = 3^3 \cdot (x^{12})^3 = 27x^{36}$$ $$(3x^9)^4 = 3^4 \cdot (x^9)^4 = 81x^{36}$$ * Теперь перепишем выражение: $$6x \cdot 27x^{36} : 81x^{36}$$ * Сначала выполним умножение: $$6x \cdot 27x^{36} = 162x^{37}$$ * Теперь выполним деление: $$\frac{162x^{37}}{81x^{36}} = 2x$$ * Подставим $x = 75$: $$2 \cdot 75 = 150$$ **Ответ: 150** 32. $\frac{(49^6)^3}{77^5}$ *Допущение: в условии 77^5 имеется ввиду $7^7$* * Представим $49$ как $7^2$, тогда $49^6 = (7^2)^6 = 7^{12}$: $$\frac{(7^{12})^3}{7^7}$$ * Теперь упростим числитель, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$(7^{12})^3 = 7^{12 \cdot 3} = 7^{36}$$ * Теперь у нас есть $\frac{7^{36}}{7^7}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{7^{36}}{7^7} = 7^{36 - 7} = 7^{29}$$ **Ответ: $7^{29}$** (так и оставляем, потому что считать это число очень долго) 33. $2^{3\sqrt{7}-1} \cdot 8^{1-\sqrt{7}}$ * Заметим, что $8 = 2^3$, значит $8^{1-\sqrt{7}} = (2^3)^{1-\sqrt{7}} = 2^{3(1-\sqrt{7})} = 2^{3-3\sqrt{7}}$ * Теперь у нас есть $2^{3\sqrt{7}-1} \cdot 2^{3-3\sqrt{7}}$. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$2^{3\sqrt{7}-1} \cdot 2^{3-3\sqrt{7}} = 2^{(3\sqrt{7}-1) + (3-3\sqrt{7})} = 2^{3\sqrt{7} - 1 + 3 - 3\sqrt{7}} = 2^2 = 4$$ **Ответ: 4** 34. $b^{\frac{5}{3}} \cdot (b^{\frac{5}{6}})^2$ при $b = 7$ * Сначала упростим $(b^{\frac{5}{6}})^2$, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$(b^{\frac{5}{6}})^2 = b^{\frac{5}{6} \cdot 2} = b^{\frac{5}{3}}$$ * Теперь у нас есть $b^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{5}{3}}$. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$b^{\frac{5}{3}} \cdot b^{\frac{5}{3}} = b^{\frac{5}{3} + \frac{5}{3}} = b^{\frac{10}{3}}$$ * Теперь подставим $b = 7$: $$7^{\frac{10}{3}}$$ **Ответ: $7^{\frac{10}{3}}$** (в таком виде и оставляем) 35. $5^{3\sqrt{7}-1} \cdot 5^{1-\sqrt{7}} : 5^{2\sqrt{7}-1}$ * Сначала упростим умножение $5^{3\sqrt{7}-1} \cdot 5^{1-\sqrt{7}}$, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$5^{3\sqrt{7}-1} \cdot 5^{1-\sqrt{7}} = 5^{(3\sqrt{7}-1) + (1-\sqrt{7})} = 5^{3\sqrt{7} - 1 + 1 - \sqrt{7}} = 5^{2\sqrt{7}}$$ * Теперь у нас есть $5^{2\sqrt{7}} : 5^{2\sqrt{7}-1}$. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$\frac{5^{2\sqrt{7}}}{5^{2\sqrt{7}-1}} = 5^{2\sqrt{7} - (2\sqrt{7}-1)} = 5^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} + 1} = 5^1 = 5$$ **Ответ: 5**