Выполни задания 1-11 из упражнений по действительным числам

1. Чтобы найти десять рациональных чисел между 0,001 и 0,01, можно взять числа вида 0,0011, 0,002, 0,003 и так далее до 0,0099. Иррациональные числа в этом промежутке найти сложнее, но можно, например, взять корень из рационального числа, которое находится в этом промежутке, например $\sqrt{0.000004} \approx 0.002$ или $\sqrt{0.000009} \approx 0.003$. 2. Среди данных чисел, числа $\sqrt{2} \approx 1.41$ и $\sqrt{3} \approx 1.73$ заключены между 1,4 и 1,75. 3. Правильное утверждение: «Если $a \in Z$, то $a \in Q$». Это значит, что если число целое, то оно всегда является рациональным. 4. а) $x \in Z$ и $x \notin N$: Например, $x = -1$. Это целое число, но не натуральное. б) $x \in Q$ и $x \notin Z$: Например, $x = 0.5$. Это рациональное число, но не целое. в) $x \in Q$ и $x \notin N$: Например, $x = -0.5$. Это рациональное число, но не натуральное. 5. а) 6 принадлежит N, Z, Q и R. б) -1,98 принадлежит Q и R. в) 0,5(87) принадлежит Q и R. г) $\pi$ принадлежит R. 6. а) Z и R: Например, -1, 0, 1. б) R и N: Невозможно, так как натуральные числа являются подмножеством вещественных чисел. в) Q и R: Например, 0,5; 1,5; 2,5. г) N, Q и R: Например, 1, 2, 3. 7. а) $\frac{1}{3} = 0,(3)$ б) $\frac{2}{3} = 0,(6)$ в) $\frac{5}{6} = 0,8(3)$ г) $\frac{7}{9} = 0,(7)$ д) $\frac{8}{11} = 0,(72)$ е) $2\frac{2}{15} = 2,1(3)$ 8. а) $\frac{1}{9} = 0,(1) \approx 0,111$ б) $\frac{3}{32} = 0,09375 \approx 0,094$ в) $\frac{2}{7} = 0,(285714) \approx 0,286$ г) $\frac{13}{64} = 0,203125 \approx 0,203$ д) $\frac{37}{15} = 2,4(6) \approx 2,467$ е) $\frac{87}{65} = 1,(338461) \approx 1,338$ 9. Проверим равенства: а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$ $2,(3) = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$. Верно. б) $0,1(6) = \frac{1}{6}$ $0,1(6) = \frac{1}{10} + \frac{6}{90} = \frac{9}{90} + \frac{6}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$. Верно. в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$ $7,(18) = 7 + \frac{18}{99} = 7 + \frac{2}{11} = 7\frac{2}{11}$. Верно. г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$ $3,4(6) = 3 + \frac{4}{10} + \frac{6}{90} = 3 + \frac{36}{90} + \frac{6}{90} = 3 + \frac{42}{90} = 3 + \frac{7}{15} = 3\frac{7}{15}$. Верно. 10. Доказательство: Разность, произведение и частное двух рациональных чисел всегда будут рациональными числами, так как рациональные числа замкнуты относительно этих операций. Это означает, что результат выполнения этих операций над рациональными числами всегда будет рациональным числом. 11. а) $13 \in N$ б) $0,8 \in Q$ в) $\sqrt{3} \in R$ г) $585 \in N$ д) $0 \in Z$