Решим пример 1:
$$(\frac{23}{9} - \frac{20}{21}) : 1\frac{8}{49} + 1\frac{8}{9} : 6$$
1) Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: $$\frac{23}{9} - \frac{20}{21} = \frac{23 \cdot 7 - 20 \cdot 3}{63} = \frac{161 - 60}{63} = \frac{101}{63}$$
2) $$1\frac{8}{49} = \frac{49 + 8}{49} = \frac{57}{49}$$
3) $$1\frac{8}{9} = \frac{9 + 8}{9} = \frac{17}{9}$$
4) $$\frac{101}{63} : \frac{57}{49} = \frac{101}{63} \cdot \frac{49}{57} = \frac{101 \cdot 7}{9 \cdot 57} = \frac{707}{513}$$
5) $$\frac{17}{9} : 6 = \frac{17}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{17}{54}$$
6) $$\frac{707}{513} + \frac{17}{54} = \frac{707 \cdot 6 + 17 \cdot 57}{3078} = \frac{4242 + 969}{3078} = \frac{5211}{3078} = \frac{1737}{1026} = \frac{579}{342} = \frac{193}{114} = 1\frac{79}{114}$$
**Ответ: $1\frac{79}{114}$**
4) $$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = 1\frac{19}{75}$$
\
Сложим иксы в левой части:
$$\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + \frac{1}{5}x = (\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5})x$$
\Приведем дроби к общему знаменателю 60:
$$(\frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60})x = \frac{47}{60}x$$
Тогда уравнение имеет вид:
$$\frac{47}{60}x = 1\frac{19}{75}$$
Преобразуем правую часть:
$$1\frac{19}{75} = \frac{75 + 19}{75} = \frac{94}{75}$$
Теперь уравнение выглядит так:
$$\frac{47}{60}x = \frac{94}{75}$$
Чтобы найти x, нужно разделить правую часть на коэффициент при x:
$$x = \frac{94}{75} : \frac{47}{60} = \frac{94}{75} \cdot \frac{60}{47} = \frac{2 \cdot 47 \cdot 15 \cdot 4}{15 \cdot 5 \cdot 47} = \frac{2 \cdot 4}{5} = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$$
**Ответ: $x = 1\frac{3}{5}$**
5) $$4\frac{1}{2} : x + 1\frac{3}{4} = 3\frac{19}{28}$$
Выразим все дроби в неправильном виде:
$$\frac{9}{2} : x + \frac{7}{4} = \frac{103}{28}$$
$$\frac{9}{2} : x = \frac{103}{28} - \frac{7}{4}$$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$$\frac{9}{2} : x = \frac{103}{28} - \frac{49}{28} = \frac{54}{28} = \frac{27}{14}$$
Теперь найдем x:
$$x = \frac{9}{2} : \frac{27}{14} = \frac{9}{2} \cdot \frac{14}{27} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 2}{2 \cdot 9 \cdot 3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$$
**Ответ: $x = 2\frac{1}{3}$**
Задача 468.
1) Найдем скорость теплохода по течению реки:
$$40\frac{1}{2} : 1\frac{1}{2} = \frac{81}{2} : \frac{3}{2} = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{81}{3} = 27 \ \text{км/ч}$$
2) Найдем собственную скорость теплохода:
$$27 - 3\frac{3}{8} = 27 - \frac{27}{8} = \frac{27 \cdot 8 - 27}{8} = \frac{27 \cdot 7}{8} = \frac{189}{8} = 23\frac{5}{8} \ \text{км/ч}$$
3) Найдем скорость теплохода против течения реки:
$$23\frac{5}{8} - 3\frac{3}{8} = 20\frac{2}{8} = 20\frac{1}{4} = \frac{81}{4} \ \text{км/ч}$$
4) Найдем время, которое теплоход затратит на обратный путь:
$$40\frac{1}{2} : 20\frac{1}{4} = \frac{81}{2} : \frac{81}{4} = \frac{81}{2} \cdot \frac{4}{81} = \frac{4}{2} = 2 \ \text{ч}$$
5) Найдем разницу во времени:
$$2 - 1\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ \text{ч}$$
**Ответ: На обратный путь уйдет на 0,5 часа больше.**
