Можешь помочь определить интервалы монотонности и точки экстремума для функций?

Привет! Давай помогу разобраться с этими функциями. Тебе нужно найти, где они возрастают, где убывают, и где у них «горки» и «впадины» (экстремумы). Вот что нужно сделать: 1. Найти производную функции. Производная показывает, как быстро меняется функция. 2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение. Корни этого уравнения – это точки, где функция может менять направление (то есть, где у неё экстремумы). 3. Подставить числа немного меньше и немного больше каждого корня в производную. Если производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум, а если с минуса на плюс – минимум. 4. Там, где производная положительная, функция возрастает, а где отрицательная – убывает. Теперь давай по порядку для каждой функции: 1) $f(x) = -x^4 + 8x^2 + 2$ * Находим производную: $f'(x) = -4x^3 + 16x$ * Приравниваем к нулю: $-4x^3 + 16x = 0$. Решаем: $x = -2, 0, 2$ * Определяем знаки производной на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$. * Получаем, что функция возрастает на $(- \infty, -2)$ и $(0, 2)$, убывает на $(-2, 0)$ и $(2, +\infty)$. * Точки максимума: $x = -2$ и $x = 2$, точка минимума: $x = 0$. 2) $f(x) = x^5 + \frac{3}{x}$ * Находим производную: $f'(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2}$ * Приравниваем к нулю: $5x^4 - \frac{3}{x^2} = 0$. Решаем: $x = \pm \sqrt[6]{\frac{3}{5}}$ * Определяем знаки производной на интервалах. * Получаем, что функция возрастает на $(-\infty, -\sqrt[6]{\frac{3}{5}})$ и $(\sqrt[6]{\frac{3}{5}}, +\infty)$, убывает на $(-\sqrt[6]{\frac{3}{5}}, 0)$ и $(0, \sqrt[6]{\frac{3}{5}})$. * Точка максимума: $x = -\sqrt[6]{\frac{3}{5}}$, точка минимума: $x = \sqrt[6]{\frac{3}{5}}$. 3) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 9}$ * Находим производную: $f'(x) = \frac{18 - 2x^2}{(x^2 + 9)^2}$ * Приравниваем к нулю: $18 - 2x^2 = 0$. Решаем: $x = -3, 3$ * Определяем знаки производной на интервалах. * Получаем, что функция возрастает на $(-3, 3)$, убывает на $(-\infty, -3)$ и $(3, +\infty)$. * Точка максимума: $x = 3$, точка минимума: $x = -3$. 4) $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^x$ * Находим производную: $f'(x) = (x^2 + x - 1) \cdot e^x$ * Приравниваем к нулю: $(x^2 + x - 1) \cdot e^x = 0$. Решаем: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ * Определяем знаки производной на интервалах. * Получаем, что функция возрастает на $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2})$ и $(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$, убывает на $(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2})$. * Точка максимума: $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, точка минимума: $x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$. 5) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ * Находим производную: $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ * Приравниваем к нулю: $1 - x^2 = 0$. Решаем: $x = -1, 1$ * Определяем знаки производной на интервалах. * Получаем, что функция возрастает на $(-1, 1)$, убывает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$. * Точка максимума: $x = 1$, точка минимума: $x = -1$. Вот и всё! Теперь ты знаешь, как найти интервалы монотонности и экстремумы функции. Если что-то непонятно, спрашивай!