Найди скалярное произведение векторов, если известны длины векторов и угол между ними

9. Чтобы найти скалярное произведение векторов $a$ и $b$, когда известны их длины и угол между ними, можно воспользоваться формулой: $a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta)$, где $|a|$ и $|b|$ — длины векторов, а $\theta$ — угол между ними. В данном случае, $|a| = 4\sqrt{2}$, $|b| = 5$, и $\theta = 45^\circ$. Значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда скалярное произведение $a \cdot b$ будет равно: $$a \cdot b = 4\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{2}{2} = 20$$ **Ответ: 20** 10. Чтобы найти значение выражения $(a+b)\cdot c$, сначала нужно сложить векторы $a$ и $b$, а затем найти скалярное произведение получившегося вектора и вектора $c$. Сначала найдем сумму векторов $a$ и $b$: $$a + b = (3; -2) + (-7; 0) = (3 + (-7); -2 + 0) = (-4; -2)$$ Теперь найдем скалярное произведение вектора $(a+b)$ и вектора $c$: $$(a+b) \cdot c = (-4; -2) \cdot (10; 1) = (-4) \cdot 10 + (-2) \cdot 1 = -40 - 2 = -42$$ **Ответ: -42** 11. Чтобы найти скалярное произведение векторов $a$ и $b$ по координатам на плоскости, нужно найти координаты этих векторов и воспользоваться формулой $a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты векторов $a$ и $b$ соответственно. Координаты вектора $a$: $(4; 3)$. Координаты вектора $b$: $(9 - 4; 0 - 3) = (5; -3)$. Теперь найдем скалярное произведение: $$a \cdot b = 4 \cdot 5 + 3 \cdot (-3) = 20 - 9 = 11$$ **Ответ: 11** 12. Чтобы найти скалярное произведение векторов $a$ и $b$ по координатам на плоскости, нужно найти координаты этих векторов и воспользоваться формулой $a \cdot b = x_1x_2 + y_1y_2$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты векторов $a$ и $b$ соответственно. Координаты вектора $a$: $(4; 8)$. Координаты вектора $b$: $(8 - 4; 0 - 8) = (4; -8)$. Теперь найдем скалярное произведение: $$a \cdot b = 4 \cdot 4 + 8 \cdot (-8) = 16 - 64 = -48$$ **Ответ: -48** 13. Чтобы найти значение выражения $(a-b)\cdot c$, сначала нужно найти координаты векторов $a$, $b$ и $c$, затем вычислить разность векторов $a$ и $b$, и, наконец, найти скалярное произведение получившегося вектора и вектора $c$. Координаты вектора $a$: $(2; 1)$. Координаты вектора $b$: $(3; 2)$. Координаты вектора $c$: $(4; 1)$. Сначала найдем разность векторов $a$ и $b$: $$a - b = (2 - 3; 1 - 2) = (-1; -1)$$ Теперь найдем скалярное произведение вектора $(a-b)$ и вектора $c$: $$(a-b) \cdot c = (-1; -1) \cdot (4; 1) = (-1) \cdot 4 + (-1) \cdot 1 = -4 - 1 = -5$$ **Ответ: -5** 14. Чтобы найти скалярное произведение векторов $3a$ и $b$, нужно сначала найти координаты векторов $a$ и $b$, затем умножить вектор $a$ на 3, и, наконец, найти скалярное произведение получившегося вектора и вектора $b$. Координаты вектора $a$: $(1; 1)$. Координаты вектора $b$: $(3; 2)$. Сначала умножим вектор $a$ на 3: $$3a = 3 \cdot (1; 1) = (3; 3)$$ Теперь найдем скалярное произведение вектора $3a$ и вектора $b$: $$3a \cdot b = (3; 3) \cdot (3; 2) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 9 + 6 = 15$$ **Ответ: 15** 15. Чтобы найти косинус угла между двумя векторами $a$ и $b$, можно воспользоваться формулой: $$\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$, где $a \cdot b$ — скалярное произведение векторов, $|a|$ и $|b|$ — длины векторов. Сначала найдем скалярное произведение векторов $a(-4; 2)$ и $b(6; 3)$: $$a \cdot b = (-4) \cdot 6 + 2 \cdot 3 = -24 + 6 = -18$$ Теперь найдем длины векторов $a$ и $b$: $$|a| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ $$|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $$\cos(\theta) = \frac{-18}{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{-18}{6 \cdot 5} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5} = -0.6$$ **Ответ: -0.6** 16. Чтобы найти $\cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $a$ и $b$, можно воспользоваться формулой: $$\cos(\alpha) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}$$, где $a \cdot b$ — скалярное произведение векторов, $|a|$ и $|b|$ — длины векторов. Сначала найдем скалярное произведение векторов $a(1; 3)$ и $b(-4; 12)$: $$a \cdot b = 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 12 = -4 + 36 = 32$$ Теперь найдем длины векторов $a$ и $b$: $$|a| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ $$|b| = \sqrt{(-4)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$$ Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $$\cos(\alpha) = \frac{32}{\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10}} = \frac{32}{4 \cdot 10} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$ **Ответ: 0.8**