Ты просишь меня вычислить, за сколько минут первый, второй и третий насосы заполнят бассейн, работая вместе, если первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 15 минут.

Давай решим эту задачу вместе! Пусть у нас есть три насоса: первый, второй и третий. Обозначим их производительности как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ (сколько бассейна каждый насос заполняет в минуту). Из условия задачи мы знаем следующее: 1. Первый и второй насосы вместе заполняют бассейн за 10 минут. Это значит, что их общая производительность $P_1 + P_2 = \frac{1}{10}$ (весь бассейн). 2. Второй и третий насосы вместе заполняют бассейн за 14 минут. Значит, $P_2 + P_3 = \frac{1}{14}$. 3. Первый и третий насосы вместе заполняют бассейн за 15 минут. Значит, $P_1 + P_3 = \frac{1}{15}$. Теперь у нас есть система из трех уравнений: $$\begin{cases} P_1 + P_2 = \frac{1}{10} \\ P_2 + P_3 = \frac{1}{14} \\ P_1 + P_3 = \frac{1}{15} \end{cases}$$ Сложим все три уравнения вместе: $$(P_1 + P_2) + (P_2 + P_3) + (P_1 + P_3) = \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15}$$ $$2P_1 + 2P_2 + 2P_3 = \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15}$$ Вынесем 2 за скобки: $$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15}$$ Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{14}$ и $\frac{1}{15}$. Это будет 210. $$\frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} = \frac{21}{210} + \frac{15}{210} + \frac{14}{210} = \frac{21 + 15 + 14}{210} = \frac{50}{210} = \frac{5}{21}$$ Теперь у нас есть: $$2(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{5}{21}$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{5}{21} : 2 = \frac{5}{21} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{42}$$ Итак, общая производительность трех насосов вместе равна $\frac{5}{42}$ бассейна в минуту. Чтобы найти, за сколько минут они заполнят весь бассейн, нужно взять обратную величину этой дроби: $$\frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8,4$$ Значит, три насоса вместе заполнят бассейн за 8,4 минуты. **Ответ: 8,4 минуты**