Реши примеры на вычисление: a) $9\frac{64}{7} - 1\frac{2}{3} + 4\frac{1}{15}$

a) Чтобы решить пример $9\frac{64}{7} - 1\frac{2}{3} + 4\frac{1}{15}$, сначала нужно перевести смешанные числа в неправильные дроби: $$9\frac{64}{7} = \frac{9 \cdot 7 + 64}{7} = \frac{63 + 64}{7} = \frac{127}{7}$$ $$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$ $$4\frac{1}{15} = \frac{4 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{60 + 1}{15} = \frac{61}{15}$$ Теперь у нас есть выражение: $$\frac{127}{7} - \frac{5}{3} + \frac{61}{15}$$ Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7, 3 и 15 будет 105. Приведем каждую дробь к этому знаменателю: $$\frac{127}{7} = \frac{127 \cdot 15}{7 \cdot 15} = \frac{1905}{105}$$ $$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 35}{3 \cdot 35} = \frac{175}{105}$$ $$\frac{61}{15} = \frac{61 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{427}{105}$$ Теперь мы можем сложить и вычесть дроби: $$\frac{1905}{105} - \frac{175}{105} + \frac{427}{105} = \frac{1905 - 175 + 427}{105} = \frac{2157}{105}$$ Теперь можно упростить дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (если он есть). В данном случае, наибольший общий делитель равен 3: $$\frac{2157}{105} = \frac{2157 \div 3}{105 \div 3} = \frac{719}{35}$$ Теперь можно перевести неправильную дробь обратно в смешанное число: $$\frac{719}{35} = 20\frac{19}{35}$$ б) Сначала выполним действия в скобках, а затем деление. Первым делом, переведём смешанные дроби в неправильные: $2\frac{5}{5} = \frac{14}{5}$ и $1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}$. Теперь выражение выглядит так: $$39 : (\frac{11}{8} + \frac{3}{6}) : (\frac{49}{50} - \frac{14}{25})$$ Найдем общий знаменатель для дробей в первых скобках (8 и 6), это будет 24. Тогда: $$\frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{33}{24}$$ $$\frac{3}{6} = \frac{3 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{12}{24}$$ Сложим дроби в первых скобках: $$\frac{33}{24} + \frac{12}{24} = \frac{45}{24}$$ Теперь упростим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{45}{24} = \frac{15}{8}$. Выполним действия во вторых скобках. Общий знаменатель для дробей (50 и 25) будет 50. Тогда: $$\frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{28}{50}$$ Вычтем дроби во вторых скобках: $$\frac{49}{50} - \frac{28}{50} = \frac{21}{50}$$ Теперь выражение выглядит так: $$39 : \frac{15}{8} : \frac{21}{50}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на её обратную. Сначала разделим 39 на $\frac{15}{8}$: $$39 : \frac{15}{8} = 39 \cdot \frac{8}{15} = \frac{39 \cdot 8}{15} = \frac{312}{15}$$ Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{312}{15} = \frac{104}{5}$. Теперь разделим $\frac{104}{5}$ на $\frac{21}{50}$: $$\frac{104}{5} : \frac{21}{50} = \frac{104}{5} \cdot \frac{50}{21} = \frac{104 \cdot 50}{5 \cdot 21} = \frac{5200}{105}$$ Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{5200}{105} = \frac{1040}{21}$. Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{1040}{21} = 49\frac{11}{21}$. в) Чтобы решить пример $\frac{7}{18} : (1\frac{2}{3} + 2\frac{7}{10})^2$, сначала нужно выполнить действия в скобках. Первым делом, переведём смешанные дроби в неправильные: $$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$$ $$2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{27}{10}$$ Теперь сложим эти дроби: $$\frac{5}{3} + \frac{27}{10}$$ Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 10 будет 30: $$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{50}{30}$$ $$\frac{27}{10} = \frac{27 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{81}{30}$$ $$\frac{50}{30} + \frac{81}{30} = \frac{131}{30}$$ Теперь возведем результат в квадрат: $$(\frac{131}{30})^2 = \frac{131^2}{30^2} = \frac{17161}{900}$$ Теперь исходное выражение имеет вид: $$\frac{7}{18} : \frac{17161}{900}$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на её обратную: $$\frac{7}{18} : \frac{17161}{900} = \frac{7}{18} \cdot \frac{900}{17161} = \frac{7 \cdot 900}{18 \cdot 17161}$$ Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 18: $$\frac{7 \cdot 900}{18 \cdot 17161} = \frac{7 \cdot 50}{1 \cdot 17161} = \frac{350}{17161}$$ **Ответ:** a) $20\frac{19}{35}$ б) $49\frac{11}{21}$ в) $\frac{350}{17161}$