Ты просишь найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x + 5/x.

Привет! Давай разберемся с твоим заданием по алгебре. Тебе нужно найти промежутки возрастания и убывания функций и определить их по графику производной. Это очень интересно! 1. $f(x) = x + \frac{5}{x}$: Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно взять производную и посмотреть, где она больше или меньше нуля. Производная: $f'(x) = 1 - \frac{5}{x^2}$. Теперь надо решить неравенства $f'(x) > 0$ и $f'(x) < 0$. $1 - \frac{5}{x^2} > 0$ это $x^2 > 5$, то есть $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$. $1 - \frac{5}{x^2} < 0$ это $x^2 < 5$, то есть $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$. Еще важно помнить, что $x$ не может быть равен 0, потому что на ноль делить нельзя. Значит, функция возрастает на интервалах $(-\infty; -\sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$, а убывает на интервалах $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5})$. 2. $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$: Сначала нужно найти область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x \geq 0$. Это происходит, когда $x \leq 0$ или $x \geq 4$. Теперь найдем производную: $f'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$. Производная больше нуля, когда $x > 2$, но с учетом области определения, это $x > 4$. Производная меньше нуля, когда $x < 2$, но с учетом области определения, это $x < 0$. Функция возрастает на интервале $(4; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0)$. 3. $f(x) = \sin(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}x$: Найдем производную: $f'(x) = \cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь нужно решить уравнения $\cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ и $\cos(x) - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. $\cos(x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$ когда $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. $\cos(x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ когда $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ - целое число. Функция возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$ и убывает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$. По графику производной: Когда график производной выше оси $x$, функция возрастает. Когда ниже оси $x$ — убывает. Значит, функция возрастает на интервале $(x_1; x_3)$, а убывает на интервалах $(-\infty; x_1)$ и $(x_3; +\infty)$. Вот и всё! Надеюсь, теперь тебе стало понятнее. Если что, спрашивай ещё!