Вычисли значения выражений и найди значения тригонометрических функций

2. 1) \(6 \cdot sin 90^\circ - 3 \cdot cos 180^\circ = 6 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) = 6 + 3 = 9\) 2) \(2 \cdot cos 0^\circ + tg 0^\circ = 2 \cdot 1 + 0 = 2\) 3) \(sin^2 50^\circ + cos^2 50^\circ = 1\) (основное тригонометрическое тождество) 4) \(sin^2 20^\circ + cos^2 160^\circ = sin^2 20^\circ + cos^2 (180^\circ - 20^\circ) = sin^2 20^\circ + (-cos 20^\circ)^2 = sin^2 20^\circ + cos^2 20^\circ = 1\) 3. 1) Дано \(sin \alpha = \frac{2}{3}\) и \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Нужно найти \(cos \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Тогда \(cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\). Так как \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), то \(cos \alpha > 0\). Значит, \(cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\). 2) Дано \(cos \alpha = -\frac{1}{5}\). Нужно найти \(sin \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Тогда \(sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}\). Значит, \(sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}\). Так как не указан квадрант для угла \(\alpha\), то у нас два возможных значения для \(sin \alpha\): \(sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\) или \(sin \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5}\). 3) Дано \(sin \alpha = \frac{5}{6}\). Нужно найти \(cos \alpha\). Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Тогда \(cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\). Значит, \(cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{11}{36}} = \pm \frac{\sqrt{11}}{6}\). Так как не указан квадрант для угла \(\alpha\), то у нас два возможных значения для \(cos \alpha\): \(cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{6}\) или \(cos \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{6}\). 4. 1) \(cos 102^\circ \cdot ctg 92^\circ\) \(cos 102^\circ < 0\) (т.к. \(102^\circ\) лежит во II квадранте) \(ctg 92^\circ < 0\) (т.к. \(92^\circ\) лежит во II квадранте) Произведение двух отрицательных чисел положительно, следовательно, \(cos 102^\circ \cdot ctg 92^\circ > 0\). 2) \(sin 0^\circ \cdot cos 28^\circ \cdot tg 82^\circ\) \(sin 0^\circ = 0\), следовательно, \(sin 0^\circ \cdot cos 28^\circ \cdot tg 82^\circ = 0\). 5. 1) \(cos 120^\circ \cdot sin 135^\circ \cdot ctg 150^\circ = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{6}}{4}\) 2) \(4tg^2 120^\circ + 4sin^2 120^\circ - 3cos 90^\circ \cdot ctg 100^\circ = 4(-\sqrt{3})^2 + 4(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - 3 \cdot 0 \cdot ctg 100^\circ = 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{4} - 0 = 12 + 3 = 15\) 6. 1) \(\frac{cos 123^\circ - tg 141^\circ}{cos 57^\circ - tg 39^\circ}\) \(cos 123^\circ = cos (90^\circ + 33^\circ) = -sin 33^\circ\) \(cos 57^\circ = cos (90^\circ - 33^\circ) = sin 33^\circ\) \(tg 141^\circ = -tg (180^\circ - 141^\circ) = -tg 39^\circ\) Тогда \(\frac{cos 123^\circ - tg 141^\circ}{cos 57^\circ - tg 39^\circ} = \frac{-sin 33^\circ - (-tg 39^\circ)}{sin 33^\circ - tg 39^\circ} = \frac{-sin 33^\circ + tg 39^\circ}{sin 33^\circ - tg 39^\circ} = -1\) 2) \(\frac{sin 18^\circ}{sin 162^\circ} + \frac{ctg 103^\circ}{ctg 77^\circ}\) \(sin 162^\circ = sin (180^\circ - 18^\circ) = sin 18^\circ\) \(ctg 103^\circ = ctg (90^\circ + 13^\circ) = -tg 13^\circ\) \(ctg 77^\circ = ctg (90^\circ - 13^\circ) = tg 13^\circ\) Тогда \(\frac{sin 18^\circ}{sin 162^\circ} + \frac{ctg 103^\circ}{ctg 77^\circ} = \frac{sin 18^\circ}{sin 18^\circ} + \frac{-tg 13^\circ}{tg 13^\circ} = 1 - 1 = 0\)