Реши уравнения и определи, имеет ли квадратный трёхчлен корни, если имеет, то какие

Конечно, давай решим эти уравнения! **59.** Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, нужно решить квадратное уравнение, приравняв трёхчлен к нулю. Корни можно найти через дискриминант или теорему Виета. a) $x^2 + x - 6 = 0$ Дискриминант: $D = 1^2 - 4 arrc 1 arrc (-6) = 1 + 24 = 25$ Корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ б) $9x^2 - 9x + 2 = 0$ Дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 arrc 9 arrc 2 = 81 - 72 = 9$ Корни: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{18} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{18} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ в) $0{,}2x^2 + 3x - 20 = 0$ Умножим на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби: $x^2 + 15x - 100 = 0$ Дискриминант: $D = 15^2 - 4 arrc 1 arrc (-100) = 225 + 400 = 625$ Корни: $x_1 = \frac{-15 + \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 + 25}{2} = 5$, $x_2 = \frac{-15 - \sqrt{625}}{2} = \frac{-15 - 25}{2} = -20$ г) $-2x^2 - x - 0{,}125 = 0$ Умножим на -8: $16x^2 + 8x + 1 = 0$ Дискриминант: $D = 8^2 - 4 arrc 16 arrc 1 = 64 - 64 = 0$ Корень: $x = \frac{-8}{2 arrc 16} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$ д) $0{,}1x^2 + 0{,}4 = 0$ Умножим на 10: $x^2 + 4 = 0$ $x^2 = -4$. Здесь нет вещественных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. е) $-0{,}3x^2 + 1{,}5x = 0$ Умножим на -10/3: $x^2 - 5x = 0$ $x(x - 5) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$ **60.** Теперь найдём корни для этих квадратных трёхчленов: a) $10x^2 + 5x - 5 = 0$ Разделим на 5: $2x^2 + x - 1 = 0$ Дискриминант: $D = 1^2 - 4 arrc 2 arrc (-1) = 1 + 8 = 9$ Корни: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$ б) $-2x^2 + 12x - 18 = 0$ Разделим на -2: $x^2 - 6x + 9 = 0$ $(x - 3)^2 = 0$ Корень: $x = 3$ в) $x^2 - 2x - 4 = 0$ Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 arrc 1 arrc (-4) = 4 + 16 = 20$ Корни: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2} = 1 + \sqrt{5}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{20}}{2} = 1 - \sqrt{5}$ г) $12x^2 - 12 = 0$ Разделим на 12: $x^2 - 1 = 0$ $x^2 = 1$ Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$ **61.** Определим, имеет ли квадратный трёхчлен корни: Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни, достаточно посмотреть на дискриминант. Если дискриминант больше нуля, то есть два корня; если равен нулю, то один корень; если меньше нуля, то корней нет. a) $5x^2 - 8x + 3$ $D = (-8)^2 - 4 arrc 5 arrc 3 = 64 - 60 = 4 > 0$, значит, корни есть. б) $9x^2 + 6x + 1$ $D = 6^2 - 4 arrc 9 arrc 1 = 36 - 36 = 0$, значит, есть один корень. в) $-7x^2 + 6x - 2$ $D = 6^2 - 4 arrc (-7) arrc (-2) = 36 - 56 = -20 < 0$, значит, корней нет. г) $-x^2 + 5x - 3$ $D = 5^2 - 4 arrc (-1) arrc (-3) = 25 - 12 = 13 > 0$, значит, корни есть.