Найди площадь треугольника АВС, если AC = 4 см, ∠A = 60° и найди сторону AB, если площадь треугольника АВС равна 60 см², AC = 15 см, ∠A = 30°.

Задача 109. а) Чтобы найти площадь треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними. В нашем случае: $AC = 4$ см, $AB = 6\sqrt{8}$ см, $\angle A = 60^\circ$. Подставляем в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\sqrt{8} \cdot sin(60^\circ)$. $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6\sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{24} = 6 \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$ см$^2$. б) Снова используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\gamma)$. В нашем случае: $BC = 3$ см, $AB = 18\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$. Подставляем в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 18\sqrt{2} \cdot sin(45^\circ)$. $sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 18 \cdot 2}{4} = \frac{108}{4} = 27$ см$^2$. в) Опять используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\gamma)$. В нашем случае: $AC = 14$ см, $CB = 7$ см, $\angle C = 48^\circ$. Подставляем в формулу: $S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 \cdot sin(48^\circ)$. $S = 49 \cdot sin(48^\circ)$. Чтобы найти значение $sin(48^\circ)$, можно воспользоваться таблицей синусов или инженерным калькулятором. $sin(48^\circ) \approx 0.7431$, тогда: $S \approx 49 \cdot 0.7431 \approx 36.41$ см$^2$. **Ответ:** а) $12\sqrt{6}$ см$^2$ б) 27 см$^2$ в) $36.41$ см$^2$ (приблизительно) Задача 111. Используем ту же формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\gamma)$. В нашем случае: $S = 60$ см$^2$, $AC = 15$ см, $\angle A = 30^\circ$. Нам нужно найти сторону $AB$. Подставляем известные значения в формулу: $60 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot AB \cdot sin(30^\circ)$. $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, поэтому: $60 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$. $60 = \frac{15}{4} \cdot AB$. Чтобы найти $AB$, нужно умножить обе части уравнения на $\frac{4}{15}$: $AB = 60 \cdot \frac{4}{15} = \frac{240}{15} = 16$ см. **Ответ:** $AB = 16$ см.