Помоги решить примеры: выполни сложение, вычитание, умножение и деление дробей, реши уравнения и вычисли выражения.

Конечно, давай помогу! Здесь много заданий, начнём с первого. **1. Выполните сложение:** а) $\frac{4}{7} + \frac{5}{6}$ Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Для 7 и 6 это будет 42. $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{24}{42}$ $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}$ Теперь складываем: $\frac{24}{42} + \frac{35}{42} = \frac{24 + 35}{42} = \frac{59}{42}$ Это неправильная дробь, можно выделить целую часть: $\frac{59}{42} = 1 \frac{17}{42}$ б) $\frac{5}{18} + \frac{7}{30}$ Общий знаменатель для 18 и 30 будет 90. $\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{25}{90}$ $\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 3}{30 \cdot 3} = \frac{21}{90}$ Складываем: $\frac{25}{90} + \frac{21}{90} = \frac{25 + 21}{90} = \frac{46}{90}$ Можно сократить на 2: $\frac{46}{90} = \frac{23}{45}$ в) $\frac{5}{12} + \frac{2}{15}$ Общий знаменатель для 12 и 15 будет 60. $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$ $\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{8}{60}$ Складываем: $\frac{25}{60} + \frac{8}{60} = \frac{25 + 8}{60} = \frac{33}{60}$ Можно сократить на 3: $\frac{33}{60} = \frac{11}{20}$ г) $\frac{15}{19} + \frac{27}{38}$ Общий знаменатель для 19 и 38 будет 38. $\frac{15}{19} = \frac{15 \cdot 2}{19 \cdot 2} = \frac{30}{38}$ $\frac{27}{38}$ остаётся без изменений. Складываем: $\frac{30}{38} + \frac{27}{38} = \frac{30 + 27}{38} = \frac{57}{38}$ Выделяем целую часть: $\frac{57}{38} = 1 \frac{19}{38}$ Сокращаем дробную часть: $1 \frac{19}{38} = 1 \frac{1}{2}$ **2. Выполните вычитание:** а) $\frac{6}{7} - \frac{9}{14}$ Общий знаменатель для 7 и 14 будет 14. $\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14}$ $\frac{9}{14}$ остаётся без изменений. Вычитаем: $\frac{12}{14} - \frac{9}{14} = \frac{12 - 9}{14} = \frac{3}{14}$ б) $\frac{9}{20} - \frac{5}{12}$ Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60. $\frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{27}{60}$ $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$ Вычитаем: $\frac{27}{60} - \frac{25}{60} = \frac{27 - 25}{60} = \frac{2}{60}$ Сокращаем на 2: $\frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ в) $\frac{5}{9} - \frac{3}{8}$ Общий знаменатель для 9 и 8 будет 72. $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{40}{72}$ $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$ Вычитаем: $\frac{40}{72} - \frac{27}{72} = \frac{40 - 27}{72} = \frac{13}{72}$ г) $\frac{7}{18} - \frac{1}{45}$ Общий знаменатель для 18 и 45 будет 90. $\frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{35}{90}$ $\frac{1}{45} = \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{2}{90}$ Вычитаем: $\frac{35}{90} - \frac{2}{90} = \frac{35 - 2}{90} = \frac{33}{90}$ Сокращаем на 3: $\frac{33}{90} = \frac{11}{30}$ **3. Выполните действия:** а) $4 \frac{7}{10} + 1 \frac{8}{15}$ Сначала сложим целые части: $4 + 1 = 5$ Теперь сложим дробные части: $\frac{7}{10} + \frac{8}{15}$ Общий знаменатель для 10 и 15 будет 30. $\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$ $\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{16}{30}$ Складываем: $\frac{21}{30} + \frac{16}{30} = \frac{21 + 16}{30} = \frac{37}{30}$ Выделяем целую часть: $\frac{37}{30} = 1 \frac{7}{30}$ Теперь складываем целую и дробную части: $5 + 1 \frac{7}{30} = 6 \frac{7}{30}$ б) $3 \frac{3}{14} + 1 \frac{4}{63}$ Сначала сложим целые части: $3 + 1 = 4$ Теперь сложим дробные части: $\frac{3}{14} + \frac{4}{63}$ Общий знаменатель для 14 и 63 будет 126. $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 9}{14 \cdot 9} = \frac{27}{126}$ $\frac{4}{63} = \frac{4 \cdot 2}{63 \cdot 2} = \frac{8}{126}$ Складываем: $\frac{27}{126} + \frac{8}{126} = \frac{27 + 8}{126} = \frac{35}{126}$ Сокращаем на 7: $\frac{35}{126} = \frac{5}{18}$ Теперь складываем целую и дробную части: $4 + \frac{5}{18} = 4 \frac{5}{18}$ в) $4 \frac{4}{15} - 2 \frac{9}{40}$ Сначала вычтем целые части: $4 - 2 = 2$ Теперь вычтем дробные части: $\frac{4}{15} - \frac{9}{40}$ Общий знаменатель для 15 и 40 будет 120. $\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{32}{120}$ $\frac{9}{40} = \frac{9 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{27}{120}$ Вычитаем: $\frac{32}{120} - \frac{27}{120} = \frac{32 - 27}{120} = \frac{5}{120}$ Сокращаем на 5: $\frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ Теперь складываем целую и дробную части: $2 + \frac{1}{24} = 2 \frac{1}{24}$ г) $5 \frac{1}{20} - 2 \frac{1}{12}$ Сначала вычтем целые части: $5 - 2 = 3$ Теперь вычтем дробные части: $\frac{1}{20} - \frac{1}{12}$ Общий знаменатель для 20 и 12 будет 60. $\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{3}{60}$ $\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$ Вычитаем: $\frac{3}{60} - \frac{5}{60} = \frac{3 - 5}{60} = \frac{-2}{60}$ Сокращаем на 2: $\frac{-2}{60} = \frac{-1}{30}$ Теперь складываем целую и дробную части: $3 + (\frac{-1}{30}) = 3 - \frac{1}{30} = 2 \frac{29}{30}$ **4. Выполните умножение:** а) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}$ б) $\frac{12}{13} \cdot \frac{26}{27} = \frac{12 \cdot 26}{13 \cdot 27} = \frac{12 \cdot 2 \cdot 13}{13 \cdot 27} = \frac{24}{27} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{8}{9}$ в) $3 \frac{3}{5} \cdot 2 \frac{1}{12} = \frac{18}{5} \cdot \frac{25}{12} = \frac{18 \cdot 25}{5 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2} = 7 \frac{1}{2}$ г) $4 \frac{2}{7} \cdot 2 \frac{4}{5} = \frac{30}{7} \cdot \frac{14}{5} = \frac{30 \cdot 14}{7 \cdot 5} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7}{7 \cdot 5} = 6 \cdot 2 = 12$ д) $2 \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{21}{8} \cdot \frac{4}{21} = \frac{21 \cdot 4}{8 \cdot 21} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ е) $2 \frac{6}{7} \cdot \frac{13}{18} = \frac{20}{7} \cdot \frac{13}{18} = \frac{20 \cdot 13}{7 \cdot 18} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 13}{7 \cdot 2 \cdot 9} = \frac{130}{63} = 2 \frac{4}{63}$ **5. Выполните деление:** а) $\frac{5}{9} : \frac{3}{5} = \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 3} = \frac{25}{27}$ б) $\frac{3}{8} : \frac{3}{5} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 3} = \frac{5}{8}$ в) $7 \frac{6}{7} : 9 \frac{3}{7} = \frac{55}{7} : \frac{66}{7} = \frac{55}{7} \cdot \frac{7}{66} = \frac{55 \cdot 7}{7 \cdot 66} = \frac{55}{66} = \frac{5 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{5}{6}$ г) $\frac{24}{25} : 12 = \frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = \frac{24}{25 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{2}{25}$ д) $3 \frac{5}{9} : 2 \frac{2}{3} = \frac{32}{9} : \frac{8}{3} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{4 \cdot 8 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$ е) $24 : \frac{8}{9} = 24 \cdot \frac{9}{8} = \frac{24 \cdot 9}{8} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 9}{8} = 3 \cdot 9 = 27$ ж) $-3 \frac{1}{9} : 2 \frac{1}{3} = -\frac{28}{9} : \frac{7}{3} = -\frac{28}{9} \cdot \frac{3}{7} = -\frac{28 \cdot 3}{9 \cdot 7} = -\frac{4 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 7} = -\frac{4}{3} = -1 \frac{1}{3}$ з) $-\frac{24}{25} : (-12) = \frac{24}{25} : 12 = \frac{24}{25} \cdot \frac{1}{12} = \frac{24}{25 \cdot 12} = \frac{2 \cdot 12}{25 \cdot 12} = \frac{2}{25}$ **6. Решите уравнения:** а) $\frac{5}{16} : z = \frac{3}{4}$ Чтобы найти $z$, нужно $\frac{5}{16}$ разделить на $\frac{3}{4}$: $z = \frac{5}{16} : \frac{3}{4} = \frac{5}{16} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 4}{16 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{12}$ б) $1 \frac{1}{9} \cdot m + \frac{5}{6} = 1 \frac{1}{2}$ $\frac{10}{9} \cdot m + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$ $\frac{10}{9} \cdot m = \frac{3}{2} - \frac{5}{6}$ $\frac{10}{9} \cdot m = \frac{9}{6} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $m = \frac{2}{3} : \frac{10}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{3}{5}$ в) $\frac{8}{15}y - \frac{3}{10} + \frac{3}{5}y = \frac{1}{2}$ $\frac{8}{15}y + \frac{3}{5}y = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$ $\frac{8}{15}y + \frac{9}{15}y = \frac{5}{10} + \frac{3}{10}$ $\frac{17}{15}y = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ $y = \frac{4}{5} : \frac{17}{15} = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} = \frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 17} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 17} = \frac{12}{17}$ **7*. Вычислите:** а) $\frac{\frac{1}{2} - \frac{7}{14} + \frac{1}{4}}{2 \frac{5}{14} - \frac{8}{21} - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}}{\frac{33}{14} - \frac{8}{21} - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{99}{42} - \frac{16}{42} - \frac{14}{42}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{99 - 16 - 14}{42}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{69}{42}} = \frac{1}{4} : \frac{69}{42} = \frac{1}{4} \cdot \frac{42}{69} = \frac{42}{4 \cdot 69} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 2 \cdot 69} = \frac{21}{138} = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 46} = \frac{7}{46}$ б) $\frac{-7.1 : 3 \frac{3}{7}}{-2,52 : (-8,4)} = \frac{-7.1 : \frac{24}{7}}{-2,52 : (-8,4)} = \frac{-7.1 \cdot \frac{7}{24}}{-2,52 : (-8,4)} = \frac{-\frac{49.7}{24}}{\frac{2,52}{8,4}} = \frac{-\frac{497}{240}}{\frac{252}{840}} = \frac{-\frac{497}{240}}{\frac{3}{10}} = -\frac{497}{240} : \frac{3}{10} = -\frac{497}{240} \cdot \frac{10}{3} = -\frac{497 \cdot 10}{240 \cdot 3} = -\frac{497}{24 \cdot 3} = -\frac{497}{72} = -6 \frac{55}{72}$