Ты просишь доказать, что ABCD и MNPQ - параллелограммы, если на сторонах четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA.

Для решения этой задачи нужно знать больше о свойствах параллелограммов и четырехугольников. Допустим, что ABCD - параллелограмм. 1. По условию, AM = CP и BN = DQ. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = DA. 2. Из равенств сторон и отрезков следует, что MB = PD и NC = QA. 3. Рассмотрим треугольники AMQ и CPN. У них AM = CP, AQ = CN, и углы A и C равны (как противоположные углы параллелограмма). Следовательно, треугольники AMQ и CPN равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 4. Из равенства треугольников следует, что MQ = NP. 5. Аналогично можно доказать равенство треугольников MBN и PDQ, откуда MN = PQ. 6. Так как в четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны (MQ = NP и MN = PQ), то MNPQ - параллелограмм. **Что и требовалось доказать.**