Ты просишь меня решить несколько заданий: найти значение выражений, представить в виде степени с рациональным показателем и вынести общий множитель за скобки.

Задание 61 1) Давай сначала упростим выражение. Корень кубический из $a$ это как $a$ в степени $\frac{1}{3}$, а корень шестой степени из $a$ это как $a$ в степени $\frac{1}{6}$. Значит, у нас получается: $$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}}$$ Теперь, когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $$a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель будет 6: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ Итак, наше выражение упростилось до: $$a^{\frac{1}{2}}$$ А это то же самое, что корень квадратный из $a$: $$\sqrt{a}$$ Теперь подставим значение $a = 0,09$: $$\sqrt{0,09} = 0,3$$ **Ответ: 0,3** 2) Сначала упростим выражение. Корень квадратный из $b$ это как $b$ в степени $\frac{1}{2}$, а корень шестой степени из $b$ это как $b$ в степени $\frac{1}{6}$. Значит, у нас получается: $$\sqrt{b} : \sqrt[6]{b} = b^{\frac{1}{2}} : b^{\frac{1}{6}}$$ Теперь, когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $$b^{\frac{1}{2}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}}$$ Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель будет 6: $$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ Итак, наше выражение упростилось до: $$b^{\frac{1}{3}}$$ А это то же самое, что корень кубический из $b$: $$\sqrt[3]{b}$$ Теперь подставим значение $b = 27$: $$\sqrt[3]{27} = 3$$ **Ответ: 3** 3) Сначала упростим выражение. Корень квадратный из $b$ это как $b$ в степени $\frac{1}{2}$, а корень шестой степени из $b$ это как $b$ в степени $\frac{1}{6}$. Значит, у нас получается: $$\frac{\sqrt{b} \cdot \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{b}} = \frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot (b^2)^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}}$$ Теперь, когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $$\frac{b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}} = \frac{b^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}}$$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель будет 6: $$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$$ Итак, наше выражение упростилось до: $$\frac{b^{\frac{7}{6}}}{b^{\frac{1}{6}}}$$ Теперь, когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются: $$\frac{b^{\frac{7}{6}}}{b^{\frac{1}{6}}} = b^{\frac{7}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{6}{6}} = b^1 = b$$ Теперь подставим значение $b = 1,3$: $$b = 1,3$$ **Ответ: 1,3** 4) Давай сначала упростим выражение. Корень кубический из $a$ это как $a$ в степени $\frac{1}{3}$, корень четвертой степени из $a$ это как $a$ в степени $\frac{1}{4}$, а корень двенадцатой степени из $a^5$ это как $a^{\frac{5}{12}}$. Значит, у нас получается: $$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[12]{a^5} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{5}{12}}$$ Теперь, когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели складываются: $$a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}}$$ Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае, общий знаменатель будет 12: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1$$ Итак, наше выражение упростилось до: $$a^1 = a$$ Теперь подставим значение $a = 2,7$: $$a = 2,7$$ **Ответ: 2,7** Задание 62 1) $a^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6} + \frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$ *Перевод: $a$ в степени $\frac{1}{3}$ умножить на корень из $a$ = $a$ в степени $\frac{5}{6}$* 2) $b^2 \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{b} = b^2 \cdot b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{12}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = b^{\frac{15}{6}} = b^{\frac{5}{2}}$ *Перевод: $b$ в квадрате умножить на $b$ в степени $\frac{1}{3}$ умножить на корень шестой степени из $b$ = $b$ в степени $\frac{5}{2}$* 3) $\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} : b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}}$ *Перевод: Корень кубический из $b$ разделить на $b$ в степени $\frac{1}{6}$ = $b$ в степени $\frac{1}{6}$* 4) $a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a} = a^{\frac{4}{3}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}} = a^1 = a$ *Перевод: $a$ в степени $\frac{4}{3}$ разделить на корень кубический из $a$ = $a$* 5) $x^{1,7} \cdot x^{2,8} : \sqrt{x^5} = x^{1,7} \cdot x^{2,8} : x^{\frac{5}{2}} = x^{1,7 + 2,8 - 2,5} = x^{4,5 - 2,5} = x^2$ *Перевод: $x$ в степени 1,7 умножить на $x$ в степени 2,8 разделить на корень из $x$ в степени 5 = $x$ в квадрате* 6) $y^{-3,8} : y^{-2,3} \cdot \sqrt[3]{y} = y^{-3,8 - (-2,3)} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-3,8 + 2,3} \cdot y^{\frac{1}{3}} = y^{-1,5 + \frac{1}{3}} = y^{-\frac{3}{2} + \frac{1}{3}} = y^{-\frac{9}{6} + \frac{2}{6}} = y^{-\frac{7}{6}}$ *Перевод: $y$ в степени -3,8 разделить на $y$ в степени -2,3 умножить на корень кубический из $y$ = $y$ в степени -$\frac{7}{6}$* Задание 63 1) $x^{\frac{1}{2}} + x = \sqrt{x} + x = \sqrt{x}(1 + \sqrt{x})$ *Перевод: корень из $x$ + $x$ = корень из $x$ умножить на (1 + корень из $x$)* 2) $(ab)^{\frac{1}{3}} + (ac)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{ac} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c})$ *Перевод: корень кубический из $ab$ + корень кубический из $ac$ = корень кубический из $a$ умножить на (корень кубический из $b$ + корень кубический из $c$)* 3) $y^{\frac{3}{4}} - y^{\frac{1}{3}} = y^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{5}{12}} - 1)$ *Перевод: $y$ в степени $\frac{3}{4}$ - $y$ в степени $\frac{1}{3}$ = $y$ в степени $\frac{1}{3}$ умножить на ($y$ в степени $\frac{5}{12}$ - 1)* 4) $12xy^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}y = 3\sqrt{xy}(4\sqrt{x} - \sqrt{y})$ *Перевод: 12$x$ корень из $y$ - 3 корень из $x$ $y$ = 3 корень из ($xy$) умножить на (4 корень из $x$ - корень из $y$)*