Реши задачи по геометрии из варианта 3: 1. Два внешних угла треугольника относятся как 1:2, а угол при третьей вершине равен 30°. 2. Определите, существует ли треугольник с периметром 47 см, в котором одна сторона меньше другой на 10 см и больше третьей на 5 см. 3. В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла образует с гипотенузой углы, один из которых в 2 раза больше другого. 4. В окружности с центром в точке О проведены три радиуса ОА, ОВ и ОС. Хорды АВ и ВС равны, ∠BAO=18°.

1. Пусть один внешний угол $x$, тогда другой $2x$. Сумма внешних углов треугольника, не смежных с третьим углом, равна $180^{\circ} + \text{угол при третьей вершине}$. Получаем уравнение: $$x + 2x = 180^{\circ} + 30^{\circ}$$ $$3x = 210^{\circ}$$ $$x = 70^{\circ}$$ Тогда $2x = 140^{\circ}$. Внутренние углы, смежные с внешними, равны: $$180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$$ $$180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$$ **Ответ:** Неизвестные углы треугольника: $110^{\circ}$, $40^{\circ}$. 2. **Недостаточно данных для точного решения.** Нужно знать, какая именно сторона меньше и больше. Допустим, что стороны треугольника $a$, $b$ и $c$, где $a < b$ на 10 см и $a > c$ на 5 см. Тогда: $b = a + 10$ и $c = a - 5$. Периметр треугольника $P = a + b + c = 47$ см. Подставим выражения для $b$ и $c$ в уравнение периметра: $$a + (a + 10) + (a - 5) = 47$$ $$3a + 5 = 47$$ $$3a = 42$$ $$a = 14 \text{ см}$$ Тогда $b = 14 + 10 = 24 \text{ см}$ и $c = 14 - 5 = 9 \text{ см}$. Проверим условие существования треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей: $a + b > c \Rightarrow 14 + 24 > 9$ (верно) $a + c > b \Rightarrow 14 + 9 > 24$ (неверно) $b + c > a \Rightarrow 24 + 9 > 14$ (верно) Так как одно из условий не выполняется, то такой треугольник не существует. 3. В прямоугольном треугольнике один угол 90 градусов. Биссектриса этого угла делит его пополам, образуя угол $90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$. Пусть один из углов, образованных биссектрисой с гипотенузой, равен $x$, тогда другой $2x$. Сумма этих углов равна $180^{\circ}$, так как они смежные: $$x + 2x = 180^{\circ}$$ $$3x = 180^{\circ}$$ $$x = 60^{\circ}$$ Тогда $2x = 120^{\circ}$. Рассмотрим маленький треугольник, образованный биссектрисой, гипотенузой и катетом. В этом треугольнике один угол $45^{\circ}$, другой $60^{\circ}$. Найдем третий угол: $$180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$$ Острые углы исходного прямоугольного треугольника: $75^{\circ}$ и $90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$. **Ответ:** Острые углы данного треугольника: $75^{\circ}$ и $15^{\circ}$. 4. **Допущение:** Нужно найти $\angle BOC$ и $\angle AOC$. Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, и $\angle BAC = \angle BCA = 18^{\circ}$. $\angle ABC = 180^{\circ} - (18^{\circ} + 18^{\circ}) = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ}$. Так как $OA = OB = OC$ как радиусы окружности, треугольники $OAB$ и $OBC$ равнобедренные. В треугольнике $OAB$: $\angle OBA = \angle BAO = 18^{\circ}$, следовательно, $\angle AOB = 180^{\circ} - (18^{\circ} + 18^{\circ}) = 144^{\circ}$. В треугольнике $OBC$: $\angle OBC = \angle OCB$. $\angle OCB = \angle BCA - \angle OCA$. Чтобы найти $\angle OCA$, нужно больше данных. **Ответ:** $\angle AOB = 144^{\circ}$