Можешь помочь мне решить неравенство \(\frac{x^2-9x+8}{x^2-36} \le 0\)?

Конечно, давай решим неравенство из задания 12: $\frac{x^2-9x+8}{x^2-36} \le 0$ Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 9x + 8 = (x-1)(x-8)$. Чтобы найти корни, можно решить уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$ через дискриминант или воспользоваться теоремой Виета. Здесь корни 1 и 8. Знаменатель: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$. Это разность квадратов. Теперь наше неравенство выглядит так: $\frac{(x-1)(x-8)}{(x-6)(x+6)} \le 0$ Отметим на числовой прямой точки, где числитель или знаменатель равны нулю. Это точки $x = -6, 1, 6, 8$. Важно помнить, что точки, где знаменатель равен нулю (в нашем случае, $x = -6$ и $x = 6$), не входят в решение, так как на ноль делить нельзя. Остальные точки $(x = 1$ и $x = 8)$ входят, так как неравенство нестрогое ($\le 0$). Теперь числовая прямая: ---(-6)---[1]----(6)----[8]---> X Определим знаки на каждом интервале. Возьмём число из каждого интервала и подставим в наше неравенство, чтобы понять, какой там знак. Например: 1) $x < -6$: возьмём $x = -7$. Тогда $\frac{(-7-1)(-7-8)}{(-7-6)(-7+6)} = \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ 2) $-6 < x < 1$: возьмём $x = 0$. Тогда $\frac{(0-1)(0-8)}{(0-6)(0+6)} = \frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$ 3) $1 < x < 6$: возьмём $x = 2$. Тогда $\frac{(2-1)(2-8)}{(2-6)(2+6)} = \frac{(+)(-)}{(-)(+)} > 0$ 4) $6 < x < 8$: возьмём $x = 7$. Тогда $\frac{(7-1)(7-8)}{(7-6)(7+6)} = \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0$ 5) $x > 8$: возьмём $x = 9$. Тогда $\frac{(9-1)(9-8)}{(9-6)(9+6)} = \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы $(-6; 1]$ и $(6; 8]$. **Ответ:** $x \in (-6; 1] \cup (6; 8]$