Можешь ли ты решить задачи 3-11 из учебника по тригонометрии?

Давай решим несколько задачек из твоего учебника! **3. Углы \(\alpha\) и \(\beta\) смежные, \(\cos \alpha = -\frac{1}{6}\)** * **1) Найдите \(\cos \beta\).** Раз углы смежные, то \(\alpha + \beta = 180^\circ\). Значит, \(\beta = 180^\circ - \alpha\). Тогда: $$\cos \beta = \cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha = -\left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}$$ * **2) Какой из углов \(\alpha\) и \(\beta\) является острым, а какой – тупым?** Косинус угла \(\alpha\) отрицательный, значит, угол \(\alpha\) тупой (больше 90°). Косинус угла \(\beta\) положительный, значит, угол \(\beta\) острый (меньше 90°). **4. Найдите значение выражения:** * **1) \(2\sin 90^\circ + 3\cos 0^\circ\)** $$ 2\sin 90^\circ + 3\cos 0^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 $$ * **2) \(3\sin 0^\circ - 5\cos 180^\circ\)** $$ 3\sin 0^\circ - 5\cos 180^\circ = 3 \cdot 0 - 5 \cdot (-1) = 0 + 5 = 5 $$ * **3) \(\operatorname{tg} 23^\circ \cdot \operatorname{tg} 0^\circ \cdot \operatorname{tg} 106^\circ\)** $$\operatorname{tg} 23^\circ \cdot \operatorname{tg} 0^\circ \cdot \operatorname{tg} 106^\circ = \operatorname{tg} 23^\circ \cdot 0 \cdot \operatorname{tg} 106^\circ = 0$$ * **4) \(6\operatorname{tg} 180^\circ + 5\sin 180^\circ + \operatorname{ctg} 90^\circ\)** $$ 6\operatorname{tg} 180^\circ + 5\sin 180^\circ + \operatorname{ctg} 90^\circ = 6 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 = 0 $$ * **5) \(\cos^2 165^\circ + \sin^2 165^\circ\)** Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Значит, $$\cos^2 165^\circ + \sin^2 165^\circ = 1$$ * **6) \(\frac{\sin 0^\circ + \sin 90^\circ}{\cos 0^\circ - \cos 90^\circ}\)** $$\frac{\sin 0^\circ + \sin 90^\circ}{\cos 0^\circ - \cos 90^\circ} = \frac{0 + 1}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$$ **5. Вычислите:** * **1) \(4\cos 90^\circ + 2\cos 180^\circ - \operatorname{ctg} 90^\circ\)** $$ 4\cos 90^\circ + 2\cos 180^\circ - \operatorname{ctg} 90^\circ = 4 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) - 0 = 0 - 2 - 0 = -2 $$ * **2) \(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ\)** $$\cos 0^\circ - \cos 180^\circ + \sin 90^\circ = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$$ **6. Чему равен синус угла, если его косинус равен: 1) 1; 2) 0? Чему равен тангенс угла, если его котангенс равен: 1) 1; 2) \(-\frac{1}{3}\)?** * **1) Если \(\cos \alpha = 1\), то \(\sin \alpha = 0\).** В этом случае \(\alpha = 0^\circ\). * **2) Если \(\cos \alpha = 0\), то \(\sin \alpha = 1\) или \(\sin \alpha = -1\).** В этом случае \(\alpha = 90^\circ\) или \(\alpha = 270^\circ\). * **1) Если \(\operatorname{ctg} \alpha = 1\), то \(\operatorname{tg} \alpha = 1\).** Тангенс и котангенс – это взаимно обратные функции, поэтому если одна равна 1, то и другая равна 1. * **2) Если \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{1}{3}\), то \(\operatorname{tg} \alpha = -3\).** Опять же, тангенс и котангенс – взаимно обратные функции, поэтому если котангенс равен \(-\frac{1}{3}\), то тангенс равен \(-3\). **7. Чему равен косинус угла, если его синус равен: 1) 1; 2) 0? Чему равен котангенс угла, если его тангенс равен: 1) -1; 2) 3?** * **1) Если \(\sin \alpha = 1\), то \(\cos \alpha = 0\).** В этом случае \(\alpha = 90^\circ\). * **2) Если \(\sin \alpha = 0\), то \(\cos \alpha = 1\) или \(\cos \alpha = -1\).** В этом случае \(\alpha = 0^\circ\) или \(\alpha = 180^\circ\). * **1) Если \(\operatorname{tg} \alpha = -1\), то \(\operatorname{ctg} \alpha = -1\).** Тангенс и котангенс – это взаимно обратные функции, поэтому если одна равна -1, то и другая равна -1. * **2) Если \(\operatorname{tg} \alpha = 3\), то \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3}\).** Тангенс и котангенс – взаимно обратные функции, поэтому если тангенс равен 3, то котангенс равен \(\frac{1}{3}\). **8. Найдите \(\sin 135^\circ, \cos 135^\circ, \operatorname{tg} 135^\circ, \operatorname{ctg} 135^\circ\).** * \(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) * \(\cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) * \(\operatorname{tg} 135^\circ = \frac{\sin 135^\circ}{\cos 135^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1\) * \(\operatorname{ctg} 135^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 135^\circ} = \frac{1}{-1} = -1\) **9. Найдите \(\sin 150^\circ, \cos 150^\circ, \operatorname{tg} 150^\circ, \operatorname{ctg} 150^\circ\).** * \(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) * \(\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) * \(\operatorname{tg} 150^\circ = \frac{\sin 150^\circ}{\cos 150^\circ} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) * \(\operatorname{ctg} 150^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 150^\circ} = -\sqrt{3}\) **10. Существует ли угол \(\alpha\), для которого:** * **1) \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\)?** Да, существует. Например, \(\alpha = 30^\circ\). * **2) \(\sin \alpha = 0.3\)?** Да, существует, так как значение синуса находится в диапазоне от -1 до 1. * **3) \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{5}\)?** Да, существует, так как значение косинуса находится в диапазоне от -1 до 1. * **4) \(\cos \alpha = -0.99\)?** Да, существует, так как значение косинуса находится в диапазоне от -1 до 1. * **5) \(\cos \alpha = 1.001\)?** Нет, не существует, так как значение косинуса не может быть больше 1. * **6) \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}\)?** Нет, не существует, так как \(\frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118 > 1\), а значение синуса не может быть больше 1. **11. Найдите:** * **1) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) и \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).** Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$ Так как \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), косинус положителен. * **2) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).** Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Так как \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), косинус отрицателен. * **3) \(\cos \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\).** Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). $$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{16}} = \pm \sqrt{\frac{13}{16}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{4}$$ Здесь два варианта, так как не указан диапазон для угла \(\alpha\). * **4) \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = -0.8\).** Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - (-0.8)^2} = \pm \sqrt{1 - 0.64} = \pm \sqrt{0.36} = \pm 0.6$$ Здесь два варианта, так как не указан диапазон для угла \(\alpha\). * **5) \(\operatorname{tg} \alpha\), если \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) и \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\).** Сначала найдем \(\cos \alpha\): $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$ Так как \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), косинус отрицателен. Теперь найдем тангенс: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$