Объясни, как найти сумму углов выпуклого пятиугольника, шестиугольника и десятиугольника; как найти количество диагоналей выпуклого пятиугольника, двенадцатиугольника и двадцатипятиугольника; как найти стороны четырехугольника, если известен его периметр и соотношения между сторонами; как найти углы выпуклого четырехугольника, если они равны.

463. Давай вспомним, что сумма углов выпуклого многоугольника зависит от количества его сторон. Есть формула: $S = (n - 2) * 180^\circ$, где $n$ — это число сторон. a) Для пятиугольника ($n = 5$): $S = (5 - 2) * 180^\circ = 3 * 180^\circ = 540^\circ$ б) Для шестиугольника ($n = 6$): $S = (6 - 2) * 180^\circ = 4 * 180^\circ = 720^\circ$ в) Для десятиугольника ($n = 10$): $S = (10 - 2) * 180^\circ = 8 * 180^\circ = 1440^\circ$ **Ответ:** 463. а) \(540^\circ\); б) \(720^\circ\); в) \(1440^\circ\). 464. Количество диагоналей в выпуклом многоугольнике можно найти по формуле: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$, где $n$ — количество сторон многоугольника. a) Для выпуклого пятиугольника ($n = 5$): $D = \frac{5(5 - 3)}{2} = \frac{5 * 2}{2} = 5$ б) Для выпуклого двенадцатиугольника ($n = 12$): $D = \frac{12(12 - 3)}{2} = \frac{12 * 9}{2} = \frac{108}{2} = 54$ в) Для выпуклого двадцатипятиугольника ($n = 25$): $D = \frac{25(25 - 3)}{2} = \frac{25 * 22}{2} = \frac{550}{2} = 275$ **Ответ:** 464. а) 5; б) 54; в) 275. 465. Чтобы найти количество сторон выпуклого многоугольника, зная величину каждого угла, используем формулу для внутреннего угла правильного многоугольника: $\alpha = \frac{(n - 2) * 180^\circ}{n}$, где $\alpha$ - величина угла, $n$ - количество сторон. а) Если угол равен $90^\circ$: $90 = \frac{(n - 2) * 180}{n}$ $90n = 180n - 360$ $90n = 360$ $n = 4$ (это квадрат) б) Если угол равен $60^\circ$: $60 = \frac{(n - 2) * 180}{n}$ $60n = 180n - 360$ $120n = 360$ $n = 3$ (это треугольник) в) Если угол равен $120^\circ$: $120 = \frac{(n - 2) * 180}{n}$ $120n = 180n - 360$ $60n = 360$ $n = 6$ (это шестиугольник) г) Если угол равен $108^\circ$: $108 = \frac{(n - 2) * 180}{n}$ $108n = 180n - 360$ $72n = 360$ $n = 5$ (это пятиугольник) **Ответ:** 465. а) 4; б) 3; в) 6; г) 5. 466. **Допущение:** Стороны четырёхугольника отличаются последовательно на 3 мм, 4 мм и 5 мм от наименьшей стороны. Пусть самая маленькая сторона равна $x$ мм. Тогда остальные стороны будут $x + 3$ мм, $x + 4$ мм и $x + 5$ мм. Периметр равен 8 см, или 80 мм. Составим уравнение: $x + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) = 80$ $4x + 12 = 80$ $4x = 68$ $x = 17$ Значит, стороны равны: 1-я сторона: 17 мм 2-я сторона: 17 + 3 = 20 мм 3-я сторона: 17 + 4 = 21 мм 4-я сторона: 17 + 5 = 22 мм **Ответ:** 466. 17 мм, 20 мм, 21 мм, 22 мм. 467. **Допущение:** Первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в 3 раза больше второй. Пусть вторая сторона равна $x$ см. Тогда: - Первая сторона: $x + 8$ см - Третья сторона: $(x + 8) + 8 = x + 16$ см - Четвёртая сторона: $3x$ см Периметр равен 66 см, значит: $(x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66$ $6x + 24 = 66$ $6x = 42$ $x = 7$ Теперь найдём каждую сторону: - Вторая сторона: $x = 7$ см - Первая сторона: $x + 8 = 7 + 8 = 15$ см - Третья сторона: $x + 16 = 7 + 16 = 23$ см - Четвёртая сторона: $3x = 3 * 7 = 21$ см **Ответ:** 467. 15 см, 7 см, 23 см, 21 см. 468. В выпуклом четырёхугольнике сумма углов всегда равна $360^\circ$. Если все углы равны, то каждый угол равен $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. **Ответ:** 468. Каждый угол равен $90^\circ$.