Реши задачу 474: Найди периметр параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K, BK = 15 см, KC = 9 см

474. Давай найдем периметр параллелограмма ABCD. Сторона BC состоит из двух отрезков: BK и KC. Значит, чтобы найти длину BC, нужно их сложить: $$BC = BK + KC = 15 \,\text{см} + 9 \,\text{см} = 24 \,\text{см}$$ В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 24 \,\text{см}$ и $AB = CD$. Так как биссектриса угла A отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ABK, то $AB = BK = 15 \,\text{см}$, а значит, и $CD = 15 \,\text{см}$. Периметр параллелограмма - это сумма длин всех его сторон: $$P = AB + BC + CD + DA = 15 \,\text{см} + 24 \,\text{см} + 15 \,\text{см} + 24 \,\text{см} = 78 \,\text{см}$$ **Ответ: 78 см** 476. Разберем каждый случай по отдельности: а) Если ∠A = 84°, то ∠C = 84°, так как противоположные углы в параллелограмме равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠B = ∠D = 180° - 84° = 96°. б) Если ∠A - ∠B = 55°, и ∠A + ∠B = 180°, то можно решить систему уравнений: $$\begin{cases} ∠A - ∠B = 55° \\ ∠A + ∠B = 180° \end{cases}$$ Сложим уравнения, получим: $$2∠A = 235° \Rightarrow ∠A = 117,5°$$ Тогда ∠B = 180° - 117,5° = 62,5°. Значит, ∠C = 117,5°, ∠D = 62,5°. в) Если ∠A + ∠C = 142°, то ∠A = ∠C = 142° / 2 = 71°. Тогда ∠B = ∠D = 180° - 71° = 109°. г) Если ∠A = 2∠B, и ∠A + ∠B = 180°, то можно составить уравнение: $$2∠B + ∠B = 180° \Rightarrow 3∠B = 180° \Rightarrow ∠B = 60°$$ Тогда ∠A = 2 * 60° = 120°. Значит, ∠C = 120°, ∠D = 60°. д) Если ∠CAD = 16° и ∠ACD = 37°, то ∠A = ∠CAD + ∠BAC, ∠C = ∠ACD + ∠ACB. Так как ∠CAD = 16° и ∠ACD = 37°, то ∠A = 16° + ∠BAC, ∠C = 37° + ∠ACB. Сумма углов в треугольнике 180°, поэтому ∠ADC = 180° - (16° + 37°) = 127°. ∠B = ∠D = 127°. 477. Допущение: MNPQ - параллелограмм. В прямоугольном треугольнике $MNH$ известны катет $MH = 3$ см и угол $∠MNH = 30°$. Катет $MH$ лежит напротив угла $∠MNH$. Значит, можно найти гипотенузу $MN$: $$MN = MH / sin(∠MNH) = 3 / sin(30°) = 3 / 0,5 = 6 \,\text{см}$$ В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $PQ = MN = 6 \,\text{см}$. $MQ = MH + HQ = 3 \,\text{см} + 5 \,\text{см} = 8 \,\text{см}$. Значит, $NP = MQ = 8 \,\text{см}$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Так как $∠MNH = 30°$, то $∠NMQ = 90° - 30° = 60°$. Значит, $∠NPQ = 60°$, а $∠MNP = ∠MQP = 180° - 60° = 120°$. **Ответ: Стороны параллелограмма: MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см. Углы параллелограмма: ∠NMQ = ∠NPQ = 60°, ∠MNP = ∠MQP = 120°.** 479. Чтобы доказать, что BMDK — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны. 1. $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$, следовательно, $BK \parallel DM$ (два перпендикуляра к одной прямой параллельны). 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $ \triangle CDM$. У них $∠BAK = ∠DCM$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Значит, эти треугольники подобны. 3. Из подобия треугольников следует, что $\frac{AB}{CD} = \frac{BK}{DM}$. Так как $AB = CD$ (противоположные стороны параллелограмма), то и $BK = DM$. 4. Итак, в четырёхугольнике $BMDK$ стороны $BK$ и $DM$ параллельны и равны. Следовательно, $BMDK$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма). Что и требовалось доказать. 480. Чтобы доказать, что $MNPQ$ - параллелограмм, нужно доказать, что его противоположные стороны параллельны и равны. Допущение: ABCD - параллелограмм. 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMQ$ и $ \triangle CPN$. У них $AM = CP$ (по условию), $AQ = CN$ (по условию), и $∠A = ∠C$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$). Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). 2. Из равенства треугольников следует, что $MQ = NP$ и $∠AMQ = ∠CPN$. 3. Аналогично доказывается равенство треугольников $\triangle BMN$ и $ \triangle DPQ$, откуда следует, что $MN = PQ$ и $∠BNM = ∠DQP$. 4. Теперь рассмотрим четырёхугольник $MNPQ$. У него $MQ = NP$ и $MN = PQ$, то есть противоположные стороны попарно равны. Следовательно, $MNPQ$ - параллелограмм (по признаку параллелограмма). Что и требовалось доказать. 481. Допущение: нужно доказать, что отрезки AB и $O_1O_2$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой, если радиусы $O_1A$ и $O_2B$ равны и стержень AB передаёт движение от одного колеса к другому. Решение: 1. Так как радиусы $O_1A$ и $O_2B$ равны, то можно провести прямые $O_1A$ и $O_2B$, и они будут параллельны (или лежать на одной прямой), потому что это радиусы одинаковых колёс. 2. Стержень $AB$ соединяет точки $A$ и $B$ на этих колёсах, и он передаёт движение от одного колеса к другому. Это значит, что стержень $AB$ должен быть либо параллелен линии центров $O_1O_2$, либо лежать на одной прямой с ней. 3. Если стержень $AB$ параллелен линии центров $O_1O_2$, то отрезки $AB$ и $O_1O_2$ параллельны. 4. Если стержень $AB$ лежит на одной прямой с линией центров $O_1O_2$, то отрезки $AB$ и $O_1O_2$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.