Ты просишь меня решить задачи по геометрии: найти гипотенузу прямоугольного треугольника, найти катет, сторону и медиану равностороннего треугольника, а также радиус описанной окружности прямоугольного треугольника.

12. Применим теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть гипотенуза равна $c$. Тогда: $$c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$$ $$c = \sqrt{676} = 26$$ **Ответ: 26** 13. Снова используем теорему Пифагора, но теперь нужно найти катет. Пусть неизвестный катет равен $b$. Тогда: $$29^2 = 20^2 + b^2$$ $$841 = 400 + b^2$$ $$b^2 = 441$$ $$b = \sqrt{441} = 21$$ **Ответ: 21** 14. В равностороннем треугольнике биссектриса является также и медианой, и высотой. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника с углом 30 градусов. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда биссектриса (высота) равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$$ $$a = \frac{2 \cdot 18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 18 = 36$$ **Ответ: 36** 15. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к стороне, является также и высотой, и биссектрисой. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. В данном случае $a = 20\sqrt{3}$, поэтому: $$\text{медиана} = \frac{20\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{20 \cdot 3}{2} = 30$$ **Ответ: 30** 16. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$$ $$AB = \sqrt{1681} = 41$$ Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{41}{2} = 20.5$$ **Ответ: 20,5**