Проверь равенство в комбинаторных выражениях: C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4

Конечно, давай разберемся с этими заданиями по комбинаторике! 6) Здесь нужно проверить равенство: $C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4$ Напомню, что $C_n^k$ (количество сочетаний из n по k) можно вычислить по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где n! - это факториал числа n (произведение всех чисел от 1 до n). * $C_9^5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$ * $C_8^5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ * $C_9^4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$ * $C_8^4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$ Подставим значения в исходное равенство: $126 - 2 \cdot 56 + 126 = 2 \cdot 70$ $126 - 112 + 126 = 140$ $140 = 140$ Равенство выполняется. г) Здесь тоже нужно проверить равенство: $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{17}^{10}$ Воспользуемся свойством сочетаний: $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$. Тогда левую часть можно преобразовать: $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = (C_{15}^8 + C_{15}^9) + (C_{15}^9 + C_{15}^{10}) = C_{16}^9 + C_{16}^{10} = C_{17}^{10}$ Итак, равенство выполняется. **Ответ:** Оба равенства верны.