Реши задачи по геометрии: 1) ABCD - прямоугольник, AB = 8, BC = ..., AK:AB=3:5; CP:CD=3:5. Найди PDKBP, SDKBP; 2) ABCD – трапеция. Найди SBOC/SAOD; 3) ABCD - трапеция. Найди PABCD, SABCD; 4) AC=13. Найди AM, MC.

Первая задача: 1. Найдём $AK$ и $CP$: $AK = \frac{3}{5} \cdot AB = \frac{3}{5} \cdot 8 = 4,8$ $CP = \frac{3}{5} \cdot CD = \frac{3}{5} \cdot 8 = 4,8$ 2. Найдём $KB$ и $DP$: $KB = AB - AK = 8 - 4,8 = 3,2$ $DP = CD - CP = 8 - 4,8 = 3,2$ 3. Найдём $P_{DKBP}$ (периметр $DKBP$). Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $AD = BC$. $P_{DKBP} = DK + KB + BP + DP$. $DK = BP$. Значит, $P_{DKBP} = 2 \cdot DK + KB + DP = 2 \cdot 10 + 3.2 + 3.2 = 26,4$ *Допущение: примем, что BC = 10* 4. Найдём $S_{DKBP}$ (площадь $DKBP$). $S_{DKBP} = DK \cdot KB = 10 \cdot 3,2 = 32$ **Ответ: $P_{DKBP} = 26,4$, $S_{DKBP} = 32$** Вторая задача: *Допущение: примем, что ABCD - трапеция, BO=4, AO=8* Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны, так как $BC \parallel AD$. Коэффициент подобия $k = \frac{BO}{AO} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. **Ответ: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \frac{1}{4}$** Третья задача: *Допущение: ABCD - равнобедренная трапеция, AB=4, BC=3* 1. Проведём высоты $BH$ и $CF$. Рассмотрим треугольник $ABH$: $\angle A = 60^\circ$, значит, $\angle ABH = 30^\circ$. $AH = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. 2. Так как трапеция равнобедренная, то $AH = FD = 2$. Найдём $AD$: $AD = AH + HF + FD = 2 + 3 + 2 = 7$. 3. Найдём $P_{ABCD}$: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 4 + 3 + 4 + 7 = 18$. 4. Найдём высоту $BH$: $BH = AB \cdot sin A = 4 \cdot sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. 5. Найдём $S_{ABCD}$: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{3 + 7}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$. **Ответ: $P_{ABCD} = 18$, $S_{ABCD} = 10\sqrt{3}$** Четвёртая задача: *Допущение: AB=4.5, BD=8, AC=13* По теореме о пересекающихся хордах: $AM \cdot MC = BM \cdot MD$. Пусть $AM = x$, тогда $MC = AC - AM = 13 - x$. $BM \cdot MD = 4,5 \cdot 8 = 36$. Получаем уравнение: $x(13 - x) = 36$. $13x - x^2 = 36$ $x^2 - 13x + 36 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Если $AM = 9$, то $MC = 13 - 9 = 4$. Если $AM = 4$, то $MC = 13 - 4 = 9$. **Ответ: $AM = 9$, $MC = 4$ или $AM = 4$, $MC = 9$**