Вычисли, разложи на линейные множители, изобрази на плоскости множество комплексных чисел, вычисли и определи, верны ли высказывания

Конечно, давай разберём эти задания по комплексным числам! **1. Вычислите:** 1) $(3 + 2i) + 3(-1 + 3i) = 3 + 2i - 3 + 9i = (3 - 3) + (2i + 9i) = 0 + 11i = 11i$ 2) $i - 2 - (6 - 5i) = i - 2 - 6 + 5i = (i + 5i) + (-2 - 6) = 6i - 8 = -8 + 6i$ 3) $(2 - i)(-1 + 5i) = 2(-1) + 2(5i) - i(-1) - i(5i) = -2 + 10i + i - 5i^2 = -2 + 11i - 5(-1) = -2 + 11i + 5 = 3 + 11i$ 4) $(1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$ 5) $i^{3} = i^{2} * i = -1 * i = -i$ 6) $(1 - i)^{4} = ((1 - i)^{2})^{2} = (1 - 2i + i^{2})^{2} = (1 - 2i - 1)^{2} = (-2i)^{2} = 4i^{2} = -4$ 7) $\frac{3}{i} = \frac{3 * (-i)}{i * (-i)} = \frac{-3i}{-i^{2}} = \frac{-3i}{-(-1)} = \frac{-3i}{1} = -3i$ 8) $\frac{2}{1 - i} = \frac{2 * (1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2(1 + i)}{1 - i^{2}} = \frac{2(1 + i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$ **2. Разложите на линейные множители:** 1) $a^{2} + 4b^{2} = (a + 2bi)(a - 2bi)$ 2) $a^{4} - b^{4} = (a^{2} - b^{2})(a^{2} + b^{2}) = (a - b)(a + b)(a^{2} + b^{2})$ 3) $x^{2} + 1 = (x + i)(x - i)$ 4) $x^{2} - 2x + 2 = (x - (1 + i))(x - (1 - i))$ 5) $x^{4} - 4 = (x^{2} - 2)(x^{2} + 2) = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ 6) $x^{3} + 8 = (x + 2)(x^{2} - 2x + 4)$ 7) $x^{6} - 64 = (x^{3} - 8)(x^{3} + 8) = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)(x + 2)(x^{2} - 2x + 4)$ 8) $x^{4} + 4 = (x^{2} - 2x + 2)(x^{2} + 2x + 2)$ **3. Изобразите на плоскости множество комплексных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:** 1) $|z| = 3$ - Это окружность с центром в начале координат и радиусом 3. 2) $|z + i| = 2$ - Это окружность с центром в точке $(0, -1)$ и радиусом 2. 3) $|z - 2 + i| \leq 3$ - Это круг с центром в точке $(2, -1)$ и радиусом 3. 4) $|z + 1 + 2i| > 1$ - Это внешность круга (без границы) с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом 1. 5) $|2z - i| = 4$ - Это окружность с центром в точке $(0, 1/2)$ и радиусом 2. 6) $|iz - 1| \leq 1$ - Это круг с центром в точке $(0, -1)$ и радиусом 1. 7) $|z - i| = |z - 1|$ - Это прямая, являющаяся серединным перпендикуляром между точками $(0, 1)$ и $(1, 0)$. 8) $|z - i| + |z + i| = 2$ - Это отрезок прямой на мнимой оси от $(0, -1)$ до $(0, 1)$. **4. Вычислите:** 1) $i^{13} = i^{12} * i = (i^{4})^{3} * i = 1^{3} * i = i$ $i^{100} = (i^{4})^{25} = 1^{25} = 1$ $i^{1993} = i^{1992} * i = (i^{4})^{498} * i = 1^{498} * i = i$ 3) $a = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Найдите $a^{4}, a^{11}, a^{1992}$: Заметим, что $a = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})$. Тогда $a = e^{i\frac{\pi}{3}}$. $a^{4} = e^{i\frac{4\pi}{3}} = \cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $a^{11} = e^{i\frac{11\pi}{3}} = \cos(\frac{11\pi}{3}) + i\sin(\frac{11\pi}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ $a^{1992} = e^{i\frac{1992\pi}{3}} = e^{i * 664\pi} = \cos(664\pi) + i\sin(664\pi) = 1$ 2) $(1 + i)^{10} = ((1 + i)^{2})^{5} = (1 + 2i - 1)^{5} = (2i)^{5} = 32i^{5} = 32i$ 4) $(\frac{1 + i}{1 - i})^{1993} = (\frac{(1 + i)^{2}}{1 - i^{2}})^{1993} = (\frac{1 + 2i - 1}{1 + 1})^{1993} = (\frac{2i}{2})^{1993} = i^{1993} = i$ **5. Верны ли следующие высказывания:** 1) Число $\sqrt{5}$ является комплексным - Да, так как любое действительное число является комплексным с мнимой частью, равной нулю. 2) Число $a$ такое, что $a^{2} = -4$ является действительным - Нет, так как $a = \pm 2i$, что является мнимым числом. 3) Число $a$ такое, что $a^{4} = 1$ является действительным - Да, так как $a$ может быть равно $\pm 1, \pm i$, и при возведении в четвертую степень любое из этих чисел даст 1, что является действительным числом. 4) Многочлен $x^{2} + 4$ можно разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами - Да, так как $x^{2} + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$. 5) Точки плоскости, удовлетворяющие условию $|z - 1| = 2$, лежат на окружности радиуса 1 - Нет, они лежат на окружности радиуса 2. 6) Если комплексное число равно своему сопряженному, то оно является действительным - Да, это определение действительного числа. 7) Если $\overline{z} = -z$, то действительная часть числа $z$ равна нулю - Да, так как в этом случае $z$ является чисто мнимым числом.