Реши задачу: Последовательность задана форм, лой x_n = -n² + 2. Найдите девятый член последовательности.

Задание 1. Чтобы найти девятый член последовательности, заданной формулой $x_n = -n^2 + 2$, нужно просто подставить $n = 9$ в эту формулу: $$x_9 = -(9)^2 + 2 = -81 + 2 = -79$$ **Ответ: -79** Задание 2. Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждое следующее число получается из предыдущего добавлением одного и того же числа (разности прогрессии). Проверим варианты: а) 16; 8; 0; ... Разность равна -8 (16 - 8 = 8, 8 - 0 = 8). б) 1; 3; 4; 7; ... Здесь нет постоянной разности. в) 16; 8; 4; ... Здесь тоже нет постоянной разности. г) $1; \frac{1}{4}; \frac{1}{9}; ...$ Здесь тоже нет постоянной разности. **Правильный ответ: A** Задание 3. Дана арифметическая прогрессия $a_n = 0,5n - 7,5$. Нужно найти число, которое НЕ является членом этой прогрессии. Давай проверим каждое из предложенных чисел, подставив их в формулу и посмотрим, получится ли целое значение $n$: а) -7,5: $$-7,5 = 0,5n - 7,5$$ $$0,5n = 0$$ $$n = 0$$ (подходит) б) -6,5: $$-6,5 = 0,5n - 7,5$$ $$0,5n = 1$$ $$n = 2$$ (подходит) в) -5,5: $$-5,5 = 0,5n - 7,5$$ $$0,5n = 2$$ $$n = 4$$ (подходит) г) -4,5: $$-4,5 = 0,5n - 7,5$$ $$0,5n = 3$$ $$n = 6$$ (подходит) Странно, все числа подходят. Проверим еще раз условие. **Допущение:** В задании опечатка и требуется найти число, которое является членом прогрессии, а не наоборот. Во всех случаях $n$ получилось целым числом, то есть все предложенные числа являются членами прогрессии. Вероятно, в задании ошибка. Задание 4. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1 = -2$ и $d = -5$. Нужно найти $a_9$. Чтобы найти $a_9$, воспользуемся формулой для $n$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d$$ Подставим $n = 9$, $a_1 = -2$ и $d = -5$: $$a_9 = -2 + (9 - 1)(-5) = -2 + 8(-5) = -2 - 40 = -42$$ **Ответ: -42** Задание 5. Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_4 = 10, a_8 = 2$. Нужно найти: 1) $a_1$ 2) разность прогрессии $d$ 3) сумму $S_8$ Решение: 1) Сначала найдём разность прогрессии $d$. Мы знаем, что: $$a_8 = a_4 + 4d$$ Подставим известные значения: $$2 = 10 + 4d$$ $$4d = -8$$ $$d = -2$$ Теперь найдём $a_1$. Мы знаем, что: $$a_4 = a_1 + 3d$$ Подставим известные значения: $$10 = a_1 + 3(-2)$$ $$10 = a_1 - 6$$ $$a_1 = 16$$ 2) Мы уже нашли разность прогрессии: $d = -2$. 3) Теперь найдём сумму $S_8$. Воспользуемся формулой для суммы $n$ членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$ В нашем случае $n = 8$, $a_1 = 16$ и $a_8 = 2$. Подставим эти значения: $$S_8 = \frac{8(16 + 2)}{2} = \frac{8 \cdot 18}{2} = 4 \cdot 18 = 72$$ **Ответы:** 1) **16** 2) **-2** 3) **72** Задание 6. Чтобы последовательность была геометрической прогрессией, нужно, чтобы каждое следующее число получалось умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии). Проверим варианты: a) $y_n = -3n^2$ — здесь $n$ в квадрате, это не геометрическая прогрессия. б) $y_n = -3n - 1$ — это арифметическая прогрессия. в) $y_n = \frac{3}{4} \cdot 3^n$ — здесь каждый следующий член получается умножением на 3, значит, это геометрическая прогрессия. г) $y_n = \frac{3}{4n}$ — здесь $n$ в знаменателе, это не геометрическая прогрессия. **Правильный ответ: В** Задание 7. Дана геометрическая прогрессия $\left(b_n\right): \frac{1}{9}, \frac{1}{3}, ...$. Найдите: 1) знаменатель прогрессии $q$ 2) $b_6$ 3) сумму $S_5$ Решение: 1) Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второй член на первый: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{1} = 3$$ 2) Чтобы найти $b_6$, воспользуемся формулой для $n$-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ Подставим $n = 6$, $b_1 = \frac{1}{9}$ и $q = 3$: $$b_6 = \frac{1}{9} \cdot 3^{6-1} = \frac{1}{9} \cdot 3^5 = \frac{1}{9} \cdot 243 = 27$$ 3) Чтобы найти сумму $S_5$, воспользуемся формулой для суммы $n$ членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$ Подставим $n = 5$, $b_1 = \frac{1}{9}$ и $q = 3$: $$S_5 = \frac{\frac{1}{9}(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{9}(243 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 242}{2} = \frac{242}{9 \cdot 2} = \frac{121}{9} = 13\frac{4}{9}$$ **Ответы:** 1) **3** 2) **27** 3) **$\frac{121}{9}$** Задание 8. Чтобы между числами 50 и 450 найти такое отрицательное число, чтобы получились три последовательные члена геометрической прогрессии, нужно, чтобы выполнялось условие: $$b_1 = 50$$ $$b_3 = 450$$ $$b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} = \sqrt{50 \cdot 450} = \sqrt{22500} = 150$$ Но так как нам нужно отрицательное число, то такого числа не существует. **Допущение:** В условии ошибка, и требуется найти положительное число. **Ответ: 150**