Можешь ли ты помочь мне найти значения sin(α/2), cos(α/2), tg(α/2), если известно cos α = -12/13, π < α < 3π/2

Привет! Давай разберёмся с твоим заданием. Тебе нужно найти значения $\sin(\frac{\alpha}{2})$, $\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $\tan(\frac{\alpha}{2})$, зная значения $\cos(\alpha)$ или $\sin(\alpha)$ и интервал, в котором находится $\alpha$. Для этого нам понадобятся формулы половинного угла и понимание знаков тригонометрических функций в разных квадрантах. **a) Дано:** $\cos(\alpha) = -\frac{12}{13}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ 1. **Определяем знак $\sin(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\frac{\alpha}{2})$**: * Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2}$ находится во втором квадранте, где синус положительный, а косинус отрицательный. 2. **Используем формулы половинного угла**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$ (минус, потому что косинус отрицательный во втором квадранте) * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$ 3. **Подставляем значение $\cos(\alpha)$**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{12}{13})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{12}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{25}{13}}{2}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{26}}{26}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{12}{13})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{12}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{1}{13}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\frac{5\sqrt{26}}{26}}{-\frac{\sqrt{26}}{26}} = -5$ **Ответ:** * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{5\sqrt{26}}{26}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{\sqrt{26}}{26}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -5$ **б) Дано:** $\sin(\alpha) = -\frac{3}{5}$, $\frac{\3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ 1. **Определяем знак $\sin(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\frac{\alpha}{2})$**: * Так как $\frac{\3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, то $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2}$ находится во втором квадранте, где синус положительный, а косинус отрицательный. 2. **Находим $\cos(\alpha)$**: * Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ * $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ * $\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$. Поскольку $\alpha$ находится в четвертом квадранте, где косинус положительный, то $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$. 3. **Используем формулы половинного угла**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$ (минус, потому что косинус отрицательный во втором квадранте) * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$ 4. **Подставляем значение $\cos(\alpha)$**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{-\frac{3\sqrt{10}}{10}} = -\frac{1}{3}$ **Ответ:** * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{1}{3}$ **в) Дано:** $\cos(\alpha) = \frac{24}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ 1. **Определяем знак $\sin(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\frac{\alpha}{2})$**: * Так как $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, то $\frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2}$ находится во втором квадранте, где синус положительный, а косинус отрицательный. 2. **Используем формулы половинного угла**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$ (минус, потому что косинус отрицательный во втором квадранте) * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$ 3. **Подставляем значение $\cos(\alpha)$**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \frac{24}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{2 \cdot 25}}{50} = \frac{5\sqrt{2}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{10}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \frac{24}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{49}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{49}{50}} = -\frac{7}{\sqrt{50}} = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{10}}{-\frac{7\sqrt{2}}{10}} = -\frac{1}{7}$ **Ответ:** * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{7\sqrt{2}}{10}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{1}{7}$ **г) Дано:** $\sin(\alpha) = -\frac{8}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ 1. **Определяем знак $\sin(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\frac{\alpha}{2})$**: * Так как $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Это означает, что $\frac{\alpha}{2}$ находится во втором квадранте, где синус положительный, а косинус отрицательный. 2. **Находим $\cos(\alpha)$**: * Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ * $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (-\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$ * $\cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17}$. Поскольку $\alpha$ находится в третьем квадранте, где косинус отрицательный, то $\cos(\alpha) = -\frac{15}{17}$. 3. **Используем формулы половинного угла**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$ (минус, потому что косинус отрицательный во втором квадранте) * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$ 4. **Подставляем значение $\cos(\alpha)$**: * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{15}{17})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{17}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\sqrt{\frac{1 + (-\frac{15}{17})}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{15}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{2}{17}}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} = -\frac{\sqrt{17}}{17}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\frac{4\sqrt{17}}{17}}{-\frac{\sqrt{17}}{17}} = -4$ **Ответ:** * $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4\sqrt{17}}{17}$ * $\cos(\frac{\alpha}{2}) = -\frac{\sqrt{17}}{17}$ * $\tan(\frac{\alpha}{2}) = -4$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!