Реши неравенство: (x-2)(x-4)(x-7) / (x+2)(x+4)(x+7) > 1 и распиши знаки на числовой прямой

Конечно, давай решим это неравенство вместе! Оно выглядит страшновато, но мы справимся. 1. **Переносим всё в одну сторону:** Чтобы решить неравенство, сначала нужно, чтобы справа был ноль. Значит, переносим единицу влево: $$\frac{(x-2)(x-4)(x-7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} - 1 > 0$$ 2. **Приводим к общему знаменателю:** Чтобы вычесть дроби, нужен общий знаменатель. У нас это $(x+2)(x+4)(x+7)$. Получаем: $$\frac{(x-2)(x-4)(x-7) - (x+2)(x+4)(x+7)}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 0$$ 3. **Раскрываем скобки и упрощаем:** Сейчас будет немного алгебры. Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые. После упрощения получим что-то вроде: $$\frac{-12x^2 - 56x - 24}{(x+2)(x+4)(x+7)} > 0$$ 4. **Ищем нули числителя и знаменателя:** * **Нули числителя:** Это значения $x$, при которых числитель равен нулю. Решаем квадратное уравнение $-12x^2 - 56x - 24 = 0$. Можно упростить, поделив на -4: $3x^2 + 14x + 6 = 0$. Решаем через дискриминант: $$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 196 - 72 = 124$$ $$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{124}}{6}, x_2 = \frac{-14 - \sqrt{124}}{6}$$ Примерно это будет $x_1 \approx -0.5, x_2 \approx -4.1$. * **Нули знаменателя:** Это значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x = -2, x = -4, x = -7$. 5. **Рисуем числовую прямую и расставляем знаки:** Рисуем прямую и отмечаем на ней все найденные точки: -7, -4.1, -4, -2, -0.5. Теперь нужно определить знаки на каждом интервале. Берём любое число из каждого интервала и подставляем в наше неравенство (после упрощения). Например: * $x = -8$: дробь будет положительной (+) * $x = -5$: дробь будет отрицательной (-) * $x = -3$: дробь будет положительной (+) * $x = -1$: дробь будет отрицательной (-) * $x = 0$: дробь будет отрицательной (-) Получается такая картина: ---(-7)---(+)---(-4.1)---(-)---(-4)---(+)---(-2)---(-)---(-0.5)---(-)--- > X 6. **Выбираем нужные интервалы:** Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (> 0), то есть положительные. Смотрим на нашу числовую прямую и выбираем: $$x \in (-\infty; -7) \cup (-4.1; -4) \cup (-2; -0.5)$$ **Ответ:** $x \in (-\infty; -7) \cup (\frac{-14 - \sqrt{124}}{6}; -4) \cup (-2; \frac{-14 + \sqrt{124}}{6})$ Вот и всё! Мы решили это неравенство. Если что-то непонятно, спрашивай ещё раз!