Помоги решить задачи по геометрии 372-378

372. а) Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x + 3)$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + x + 3) = 48$ см. $$2(2x + 3) = 48$$ $$4x + 6 = 48$$ $$4x = 42$$ $$x = 10,5$$ Значит, одна сторона равна 10,5 см, а другая 10,5 + 3 = 13,5 см. б) Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x + 7)$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + x + 7) = 48$ см. $$2(2x + 7) = 48$$ $$4x + 14 = 48$$ $$4x = 34$$ $$x = 8,5$$ Значит, одна сторона равна 8,5 см, а другая 8,5 + 7 = 15,5 см. в) Пусть одна сторона параллелограмма равна $x$ см, тогда другая сторона равна $2x$ см. Периметр параллелограмма равен $2(x + 2x) = 48$ см. $$2(3x) = 48$$ $$6x = 48$$ $$x = 8$$ Значит, одна сторона равна 8 см, а другая 2 * 8 = 16 см. **Ответ:** 372. а) 10,5 см и 13,5 см б) 8,5 см и 15,5 см в) 8 см и 16 см 373. В параллелограмме $ABCD$ периметра 50 см и углом ∠C = 30° проведена высота $BH = 6,5$ см. Допущение: $BH$ проведена к стороне $CD$. Так как $BH$ перпендикулярна $CD$, то треугольник $BHC$ прямоугольный. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $BC = 2 ?H = 2 6,5 = 13$ см. Пусть сторона $CD = x$ см. Тогда периметр параллелограмма равен $2(13 + x) = 50$ см. $$26 + 2x = 50$$ $$2x = 24$$ $$x = 12$$ Значит, $CD = 12$ см. **Ответ:** 13 см и 12 см. 374. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Известно, что $BK = 15$ см, $KC = 9$ см. Так как $AK$ - биссектриса угла $A$, то угол $BAK$ равен углу $KAD$. Угол $BKA$ равен углу $KAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$. Значит, угол $BAK$ равен углу $BKA$, то есть треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB = BK = 15$ см. Сторона $BC = BK + KC = 15 + 9 = 24$ см. Периметр параллелограмма равен $2(15 + 24) = 2 39 = 78$ см. **Ответ:** 78 см. 375. Допущение: Биссектриса выходит из вершины тупого угла параллелограмма. Пусть биссектриса угла параллелограмма делит сторону на отрезки 7 см и 14 см. Тогда вся сторона, которую делит биссектриса, равна $7 + 14 = 21$ см. В параллелограмме биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, значит, вторая сторона параллелограмма равна 14 см. Тогда периметр параллелограмма равен $2(21 + 14) = 2 35 = 70$ см. **Ответ:** 70 см. 376. а) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен 84°. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Значит, угол $B$ равен $180 - 84 = 96°$. Углы, лежащие напротив, равны. Значит, угол $C$ равен углу $A$ и равен 84°, а угол $D$ равен углу $B$ и равен 96°. б) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ минус угол $B$ равен 55°. Пусть угол $A = x$, тогда угол $B = x - 55$. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Значит, $x + x - 55 = 180$. $$2x = 235$$ $$x = 117,5$$ Значит, угол $A$ равен 117,5°, угол $B$ равен $117,5 - 55 = 62,5°$. Угол $C$ равен углу $A$ и равен 117,5°, а угол $D$ равен углу $B$ и равен 62,5°. в) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ плюс угол $C$ равен 142°. Углы $A$ и $C$ в параллелограмме равны, значит, угол $A$ равен углу $C$ и равен $142 / 2 = 71°$. Угол $B$ равен $180 - 71 = 109°$. Угол $D$ равен углу $B$ и равен 109°. г) В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен двум углам $B$. Пусть угол $B = x$, тогда угол $A = 2x$. Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Значит, $x + 2x = 180$. $$3x = 180$$ $$x = 60$$ Значит, угол $B$ равен 60°, угол $A$ равен $2 60 = 120°$. Угол $C$ равен углу $A$ и равен 120°, а угол $D$ равен углу $B$ и равен 60°. д) В параллелограмме $ABCD$ угол $CAD$ равен 16°, угол $ACD$ равен 37°. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, угол $ADC$ равен $180 - 16 - 37 = 127°$. Угол $B$ равен углу $D$ и равен 127°. Угол $A$ равен $180 - 127 = 53°$, угол $C$ равен углу $A$ и равен 53°. **Ответ:** 376. а) ∠A = ∠C = 84°, ∠B = ∠D = 96° б) ∠A = ∠C = 117,5°, ∠B = ∠D = 62,5° в) ∠A = ∠C = 71°, ∠B = ∠D = 109° г) ∠A = ∠C = 120°, ∠B = ∠D = 60° д) ∠A = ∠C = 53°, ∠B = ∠D = 127° 377. Допущение: $H$ лежит на стороне $MQ$, а не на продолжении. В параллелограмме $MNPQ$ проведён перпендикуляр $NH$ к прямой $MQ$, причём точка $H$ лежит на стороне $MQ$. Известно, что $MH = 3$ см, $HQ = 5$ см, угол $MNH = 30°$. В прямоугольном треугольнике $MNH$ против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $MN = 2 MH = 2 3 = 6$ см. $MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8$ см. Треугольник $MNH$ прямоугольный, значит, угол $NMH = 90 - 30 = 60°$. Угол $NMQ = 180 - 90 = 90°$. Угол $M = 180 - 60 = 120°$. Угол $Q$ равен углу $N$ и равен 60°. **Ответ:** 377. Стороны: 6 см и 8 см. Углы: ∠M = ∠P = 120°, ∠N = ∠Q = 60° 378. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Выпуклый четырёхугольник — это четырёхугольник, у которого все внутренние углы меньше 180°. В параллелограмме противоположные углы равны. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Значит, в параллелограмме не может быть углов больше 180°. Следовательно, параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.