Сформулируй и докажи утверждения о признаках параллелограмма.

Конечно, давай разберёмся с этими задачами по геометрии! 11. Признаки параллелограмма: a) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство: Представь себе четырёхугольник ABCD, у которого стороны AB и CD равны и параллельны. Нам нужно доказать, что ABCD — параллелограмм, то есть, что и стороны BC и AD тоже параллельны. Проведём диагональ BD. Теперь у нас есть два треугольника: \(\triangle ABD\) и \(\triangle CDB\). Так как AB и CD параллельны, то углы \(\angle ABD\) и \(\angle CDB\) равны (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых). Сторона BD — общая для обоих треугольников. Так как AB = CD, \(\angle ABD = \angle CDB\), и BD — общая сторона, то \(\triangle ABD = \triangle CDB\) (по первому признаку равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что углы \(\angle ADB\) и \(\angle CBD\) тоже равны. А это значит, что стороны AD и BC параллельны (по признаку параллельности прямых – если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Итак, у четырёхугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD и BC || AD). Следовательно, ABCD — параллелограмм. б) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство: Рассмотрим четырёхугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = AD. Нужно доказать, что ABCD – параллелограмм, то есть, что AB || CD и BC || AD. Проведём диагональ AC. Получили два треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). У этих треугольников сторона AC – общая. Также, по условию, AB = CD и BC = AD. Значит, \(\triangle ABC = \triangle CDA\) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует равенство углов: \(\angle BAC = \angle DCA\) и \(\angle BCA = \angle DAC\). Равенство углов \(\angle BAC = \angle DCA\) означает, что AB || CD (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Равенство углов \(\angle BCA = \angle DAC\) означает, что BC || AD. Итак, у четырёхугольника ABCD стороны AB || CD и BC || AD. Значит, ABCD — параллелограмм. в) Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Доказательство: Пусть ABCD — четырёхугольник, у которого диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и при этом AO = OC и BO = OD. Наша задача — доказать, что ABCD — параллелограмм, то есть, что AB || CD и BC || AD. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). У них: AO = OC и BO = OD (по условию). Углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) равны как вертикальные. Значит, \(\triangle AOB = \triangle COD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что AB = CD и \(\angle OAB = \angle OCD\). Равенство углов \(\angle OAB = \angle OCD\) означает, что AB || CD (по признаку параллельности прямых – если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны). Аналогично можно доказать, что BC || AD, рассмотрев треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\). Итак, у четырёхугольника ABCD стороны AB || CD и BC || AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.