Объясни, как найти область определения функции, чему равно значение дроби при разных значениях переменной, как определить знак дроби, и чему равно наибольшее значение дроби.

13. Давай найдем область определения для каждой функции. Это значит, какие значения может принимать $x$, чтобы функция имела смысл. a) $y = \frac{1}{x-2}$. Здесь $x$ не может быть равен 2, иначе будет деление на ноль. *Ответ: $x \neq 2$* б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$. Здесь $x$ не может быть равен 0 и -1, так как это тоже приведет к делению на ноль. *Ответ: $x \neq 0, x \neq -1$* в) $y = x + \frac{1}{x+5}$. Здесь $x$ не может быть равен -5. *Ответ: $x \neq -5$* 14. Нужно найти, при каком значении переменной дробь $\frac{x-3}{5}$ равна нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. То есть, $x - 3 = 0$. $x = 3$. *Ответ: г) 3* 15. Нужно найти, при каких значениях переменной значение дроби равно нулю. a) $\frac{y-5}{8}$. Дробь равна нулю, когда $y - 5 = 0$, значит $y = 5$. *Ответ: $y = 5$* б) $\frac{2y+3}{10}$. Дробь равна нулю, когда $2y + 3 = 0$, значит $2y = -3$, и $y = -\frac{3}{2} = -1.5$. *Ответ: $y = -1.5$* в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$. Дробь равна нулю, когда $x(x-1) = 0$. Это происходит, когда $x = 0$ или $x = 1$. *Ответ: $x = 0, x = 1$* г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$. Дробь равна нулю, когда $x(x+3) = 0$. Это происходит, когда $x = 0$ или $x = -3$. *Ответ: $x = 0, x = -3$* 16. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: a) $a > 0$ и $b > 0$. Если оба числа положительные, то и дробь положительная. *Ответ: дробь положительная* б) $a > 0$ и $b < 0$. Если числитель положительный, а знаменатель отрицательный, то дробь отрицательная. *Ответ: дробь отрицательная* в) $a < 0$ и $b > 0$. Если числитель отрицательный, а знаменатель положительный, то дробь отрицательная. *Ответ: дробь отрицательная* г) $a < 0$ и $b < 0$. Если оба числа отрицательные, то дробь положительная. *Ответ: дробь положительная* 17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: a) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно. $x^2$ всегда неотрицателен, значит, $x^2 + 1$ всегда больше или равно 1. Поэтому дробь всегда положительна. *Ответ: дробь положительна при любом значении x* б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно. $y^2$ всегда неотрицателен, значит, $y^2 + 4$ всегда больше или равно 4. Числитель отрицательный, поэтому дробь всегда отрицательна. *Ответ: дробь отрицательна при любом значении y* в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно. $(a-1)^2$ всегда неотрицательно (квадрат числа). $a^2 + 10$ всегда положительно. Значит, дробь всегда неотрицательна. *Ответ: дробь неотрицательна при любом значении a* г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно. $(b-3)^2$ всегда неотрицательно (квадрат числа). $-b^2 - 1$ всегда отрицательно. Значит, дробь всегда неположительна. *Ответ: дробь неположительна при любом значении b* 18. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: a) $\frac{4}{a^2+5}$. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. $a^2$ всегда неотрицателен, и наименьшее его значение 0. Тогда $a^2 + 5 = 5$. *Ответ: $a = 0$* б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. $(a-3)^2$ всегда неотрицателен, и наименьшее его значение 0. Это происходит, когда $a = 3$. Тогда $(a-3)^2 + 1 = 1$. *Ответ: $a = 3$* 19. При каком значении $b$ принимает наименьшее значение дробь: a) $\frac{b^2+7}{21}$. Чтобы дробь была наименьшей, числитель должен быть наименьшим. $b^2$ всегда неотрицателен, и наименьшее его значение 0. Тогда $b^2 + 7 = 7$. *Ответ: $b = 0$* б) $\frac{(b-2)^2+16}{8}$. Чтобы дробь была наименьшей, числитель должен быть наименьшим. $(b-2)^2$ всегда неотрицателен, и наименьшее его значение 0. Это происходит, когда $b = 2$. Тогда $(b-2)^2 + 16 = 16$. *Ответ: $b = 2$* 20. Чему равно наибольшее значение дроби $\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}$? Преобразуем знаменатель: $4x^2 + 9 + y^2 + 4xy = (4x^2 + 4xy + y^2) + 9 = (2x + y)^2 + 9$. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. $(2x + y)^2$ всегда неотрицателен, и наименьшее его значение 0. Тогда знаменатель равен 9. Итак, наибольшее значение дроби равно $\frac{18}{9} = 2$. **Ответ: 3. Равно 2**