Можешь доказать, что в правильной призме основание которой правильный треугольник $ABC$ и боковое ребро $AA_1$ образует равные углы со сторонами основания $AC$ и $AB$, а) $BC \perp AA_1$; б) $CC_1B_1B$ — прямоугольник?

Конечно, давай докажем! **а) Доказательство, что $BC \perp AA_1$:** Так как $AA_1$ образует равные углы со сторонами $AC$ и $AB$, то проекция $A_1$ на плоскость $ABC$ (точка $O$) будет равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $AO = BO$. В правильном треугольнике $ABC$ точка $O$, равноудалённая от $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Этот серединный перпендикуляр является также медианой и высотой, то есть совпадает с прямой $CH$, где $H$ — середина $AB$. Так как $BC$ перпендикулярна $AH$ (потому что $CH$ – высота в равностороннем треугольнике), и $AA_1$ образует равные углы с $AC$ и $AB$, то $AA_1$ проецируется на $CH$. Значит, $BC$ перпендикулярна проекции $AA_1$ на плоскость $ABC$. По теореме о трёх перпендикулярах, если прямая перпендикулярна проекции наклонной на плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. Следовательно, $BC \perp AA_1$. **б) Доказательство, что $CC_1B_1B$ – прямоугольник:** Чтобы доказать, что $CC_1B_1B$ — прямоугольник, нужно показать, что все его углы прямые. $BB_1 \perp (ABC)$ и $CC_1 \perp (ABC)$, так как это боковые рёбра призмы, а призма прямая. Значит, углы $BB_1C$ и $CC_1B$ прямые. Осталось показать, что угол $CBC_1$ прямой. Так как призма прямая, то $BB_1 \parallel CC_1$, и $BB_1 = CC_1$. Значит, $CC_1B_1B$ — параллелограмм. А так как $\angle BB_1C$ — прямой, то это прямоугольник.