Выполни арифметические действия: (0,5 - 1/3 + 0,25 - 1/5) : 1/12 * 7/13

Вариант 4 1. Сначала упростим выражение в скобках, переведя десятичные дроби в обыкновенные: $$0,5 - \frac{1}{3} + 0,25 - \frac{1}{5} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$$ Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель будет 60: $$\frac{30}{60} - \frac{20}{60} + \frac{15}{60} - \frac{12}{60} = \frac{30 - 20 + 15 - 12}{60} = \frac{13}{60}$$ Теперь выполним деление и умножение: $$\frac{13}{60} : \frac{1}{12} \cdot \frac{7}{13} = \frac{13}{60} \cdot \frac{12}{1} \cdot \frac{7}{13}$$ Сократим дроби: $$\frac{13}{60} \cdot \frac{12}{1} \cdot \frac{7}{13} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{7}{1} = \frac{7}{5}$$ Переведём в десятичную дробь: $\frac{7}{5} = 1,4$ **Ответ: 1,4** 2. Чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 + 5a - 2}{a^2 + 2a}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Знаменатель раскладывается просто: $$a^2 + 2a = a(a + 2)$$ Теперь разложим числитель. Для этого найдём корни квадратного уравнения $3a^2 + 5a - 2 = 0$: $$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$ Теперь можно записать числитель в виде произведения: $$3a^2 + 5a - 2 = 3(a - \frac{1}{3})(a + 2) = (3a - 1)(a + 2)$$ Теперь сократим дробь: $$\frac{(3a - 1)(a + 2)}{a(a + 2)} = \frac{3a - 1}{a}$$ **Ответ: $\frac{3a-1}{a}$** 3. Решим систему неравенств: $$\begin{cases} 2 + 11x \geq -20 \\ 14 - 3x > 5 \end{cases}$$ Решим первое неравенство: $$11x \geq -20 - 2$$ $$11x \geq -22$$ $$x \geq -2$$ Решим второе неравенство: $$-3x > 5 - 14$$ $$-3x > -9$$ $$x < 3$$ Объединим решения: $$-2 \leq x < 3$$ Целые решения: -2, -1, 0, 1, 2. Количество целых решений: 5. **Ответ: 5** 4. Решим уравнение графически: $-x^2 = 3 + 4x$. Перенесём все члены в левую часть, чтобы привести к стандартному виду квадратного уравнения: $$x^2 + 4x + 3 = 0$$ Построим график функции $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2$$ $$y_в = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$ Вершина параболы: $(-2, -1)$. Найдем точки пересечения с осью x (решения уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$). Можно воспользоваться теоремой Виета или найти дискриминант: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$$ Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$. Чтобы решить уравнение графически, нужно построить параболу $y = x^2 + 4x + 3$ и найти точки пересечения с осью x. Абсциссы этих точек и будут решениями уравнения. Изобразим координатную прямую: ---(-3)----(-2)----(-1)----> X **Ответ: x = -1 и x = -3** 5. Решим уравнение: $$\frac{x}{x - 2} - \frac{7}{x + 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$$ Заметим, что $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{7(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можно приравнять числители: $$x(x + 2) - 7(x - 2) = 8$$ Раскроем скобки: $$x^2 + 2x - 7x + 14 = 8$$ Приведём подобные слагаемые: $$x^2 - 5x + 14 - 8 = 0$$ $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$ Проверим корни на ОДЗ (область допустимых значений). Знаменатели не должны быть равны нулю, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Значит, $x = 2$ не является решением. **Ответ: x = 3**