Реши задачу: Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найди сторону этого треугольника.

1. Медиана равностороннего треугольника равна $9\sqrt{3}$. Нужно найти сторону этого треугольника. Медиана равностороннего треугольника, проведённая к основанию, является и высотой. Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой a (сторона равностороннего треугольника), катетом $9\sqrt{3}$ (медиана) и катетом $a/2$ (половина стороны). По теореме Пифагора: $a^2 = (9\sqrt{3})^2 + (a/2)^2$ $a^2 = 243 + a^2/4$ $3a^2/4 = 243$ $a^2 = 324$ $a = \sqrt{324} = 18$ **Ответ: Сторона треугольника равна 18.** 2. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Нужно найти угол ABC. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, угол ACD = углу ABD = 16°. Угол BAC = углу CAD = 32°. Тогда угол C = углу ACD + углу CAD = 16° + 32° = 48°. **Ответ: Угол ABC равен 48 градусов.** 3. Основания трапеции равны 8 и 19. Нужно найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $(8 + 19) / 2 = 13.5$. Диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Больший из них соответствует большему основанию. Пусть x — больший отрезок, тогда $x = (19/2) = 9.5$. **Ответ: Больший отрезок равен 9.5** 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Нужно найти её площадь. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Большее основание - 6 клеток, меньшее - 4 клетки, высота - 3 клетки. $$S = ((6 + 4) / 2) * 3 = 15$$ **Ответ: Площадь трапеции равна 15.** 5. Выберите один или несколько правильных ответов. Какое из следующих утверждений верно? 1) Вертикальные углы равны. 2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности. 3) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. * Утверждение 1 верно: Вертикальные углы всегда равны. * Утверждение 2 не всегда верно: Для пересечения окружностей важна не только величина радиусов, но и расстояние между их центрами. * Утверждение 3 верно только для параллелограмма, но не для трапеции. **Ответ: 1**