Найди первообразную функции f(x) = 1/(4√x) - x²

Привет! Давай найдём первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{4\sqrt{x}} - x^2$. Это значит, нам нужно найти такую функцию $F(x)$, что её производная равна $f(x)$. Для начала, вспомни, что такое первообразная. Если у тебя есть функция $f(x)$, то её первообразная $F(x)$ — это такая функция, что $F'(x) = f(x)$. То есть, если ты возьмёшь производную от $F(x)$, то получишь обратно $f(x)$. В нашем случае, у нас есть два слагаемых: $\frac{1}{4\sqrt{x}}$ и $-x^2$. Давай найдём первообразную для каждого из них по отдельности, а потом сложим результаты. 1. Для $\frac{1}{4\sqrt{x}}$: $\frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}}$ Теперь используем правило нахождения первообразной для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ $\int \frac{1}{4}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{4} \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{x} + C = \frac{1}{2}\sqrt{x} + C$ 2. Для $-x^2$: $\int -x^2 dx = -\int x^2 dx = -\frac{x^{2+1}}{2+1} + C = -\frac{x^3}{3} + C$ Теперь сложим обе первообразные: $F(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} + C$ Вот и всё! Мы нашли первообразную для заданной функции. Не забудь добавить константу $C$, потому что производная константы всегда равна нулю, и у нас может быть любое число в качестве этой константы. **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x} - \frac{x^3}{3} + C$