Найди первообразную F для функции f(x) = 3-6x на промежутке I = (-∞; +∞), график которой проходит через точку A(-1; 0)

Сейчас помогу разобраться с первообразной функции. Давай по порядку: 1) $f(x) = 3 - 6x, I = (-\infty; +\infty), A(-1; 0)$ Чтобы найти первообразную, нужно взять интеграл от функции $f(x)$: $F(x) = \int (3 - 6x) dx = 3x - 3x^2 + C$ Теперь используем точку $A(-1; 0)$, чтобы найти константу $C$: $0 = 3(-1) - 3(-1)^2 + C$ $0 = -3 - 3 + C$ $C = 6$ Значит, первообразная равна: **Ответ:** $F(x) = 3x - 3x^2 + 6$ 2) $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1, I = (-\infty; +\infty), B(1; 5)$ Найдем первообразную: $F(x) = \int (4x^3 - 6x^2 + 1) dx = x^4 - 2x^3 + x + C$ Подставим точку $B(1; 5)$: $5 = 1^4 - 2(1)^3 + 1 + C$ $5 = 1 - 2 + 1 + C$ $C = 5$ **Ответ:** $F(x) = x^4 - 2x^3 + x + 5$ 3) $f(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}, I = (0; +\infty), C(4; 10)$ Первообразная: $F(x) = \int (2x - x^{-\frac{1}{2}}) dx = x^2 - 2\sqrt{x} + C$ Подставляем точку $C(4; 10)$: $10 = 4^2 - 2\sqrt{4} + C$ $10 = 16 - 4 + C$ $C = -2$ **Ответ:** $F(x) = x^2 - 2\sqrt{x} - 2$ 4) $f(x) = 2\sin 3x, I = (-\infty; +\infty), D(\frac{\pi}{3}; 0)$ Первообразная: $F(x) = \int 2\sin 3x dx = -\frac{2}{3} \cos 3x + C$ Подставляем точку $D(\frac{\pi}{3}; 0)$: $0 = -\frac{2}{3} \cos (3 \cdot \frac{\pi}{3}) + C$ $0 = -\frac{2}{3} \cos \pi + C$ $0 = -\frac{2}{3} (-1) + C$ $C = -\frac{2}{3}$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{2}{3} \cos 3x - \frac{2}{3}$ 5) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} - 2}}, I = (4; +\infty), E(6; 12)$ Первообразная: $F(x) = \int \frac{2}{\sqrt{\frac{x}{2} - 2}} dx = 4\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + C$ Подставляем точку $E(6; 12)$: $12 = 4\sqrt{\frac{6}{2} - 2} + C$ $12 = 4\sqrt{3 - 2} + C$ $12 = 4 + C$ $C = 8$ **Ответ:** $F(x) = 4\sqrt{\frac{x}{2} - 2} + 8$ 6) $f(x) = e^{2x+1}, I = (-\infty; +\infty), M(-\frac{1}{2}; 4)$ Первообразная: $F(x) = \int e^{2x+1} dx = \frac{1}{2} e^{2x+1} + C$ Подставляем точку $M(-\frac{1}{2}; 4)$: $4 = \frac{1}{2} e^{2(-\frac{1}{2})+1} + C$ $4 = \frac{1}{2} e^{0} + C$ $4 = \frac{1}{2} + C$ $C = \frac{7}{2}$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1} + \frac{7}{2}$ 7) $f(x) = \frac{1}{4x - 3e^2}, I = (\frac{3e^2}{4}; +\infty), K(e^2; 6)$ Первообразная: $F(x) = \int \frac{1}{4x - 3e^2} dx = \frac{1}{4} \ln |4x - 3e^2| + C$ Подставляем точку $K(e^2; 6)$: $6 = \frac{1}{4} \ln |4e^2 - 3e^2| + C$ $6 = \frac{1}{4} \ln (e^2) + C$ $6 = \frac{1}{4} \cdot 2 + C$ $C = \frac{11}{2}$ **Ответ:** $F(x) = \frac{1}{4} \ln |4x - 3e^2| + \frac{11}{2}$ 8) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}}, I = (0; 8\pi), N(2\pi; -3)$ Первообразная: $F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{8}} dx = -8 \cot \frac{x}{8} + C$ Подставляем точку $N(2\pi; -3)$: $-3 = -8 \cot \frac{2\pi}{8} + C$ $-3 = -8 \cot \frac{\pi}{4} + C$ $-3 = -8 \cdot 1 + C$ $C = 5$ **Ответ:** $F(x) = -8 \cot \frac{x}{8} + 5$