Найди пределы функций в заданиях 1-12

*1.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{3x^3 + x}{x}$, сначала упростим выражение. Вынесем $x$ в числителе: $\frac{3x^3 + x}{x} = \frac{x(3x^2 + 1)}{x}$. Теперь сократим $x$ в числителе и знаменателе: $\frac{x(3x^2 + 1)}{x} = 3x^2 + 1$. Теперь можно подставить $x = 0$: $3(0)^2 + 1 = 1$. **Ответ: 1** *2.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Знаменатель: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 1)}$. Сократим $(x - 3)$: $\frac{x + 3}{x + 1}$. Подставим $x = 3$: $\frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. **Ответ: $\frac{3}{2}$** *3.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{x + 1} + 1$: $\frac{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{(x + 1) - 1}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)}$. Сократим $x$: $\frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}$. Подставим $x = 0$: $\frac{1}{\sqrt{0 + 1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$. **Ответ: $\frac{1}{2}$** *4.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4}{x + 2}$, разложим числитель на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$. Сократим $(x + 2)$: $x - 2$. Подставим $x = -2$: $-2 - 2 = -4$. **Ответ: -4** *5.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{x^3 - 27}$, разложим знаменатель как разность кубов: $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{3 - x}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}$. Сократим $(x - 3)$: $\frac{-1}{x^2 + 3x + 9}$. Подставим $x = 3$: $\frac{-1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{-1}{9 + 9 + 9} = \frac{-1}{27}$. **Ответ: $-\frac{1}{27}$** *6.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 5x - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3)$. Знаменатель: $2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(3x - 2)(x - 3)}{(2x + 1)(x - 3)}$. Сократим $(x - 3)$: $\frac{3x - 2}{2x + 1}$. Подставим $x = 3$: $\frac{3 \cdot 3 - 2}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{9 - 2}{6 + 1} = \frac{7}{7} = 1$. **Ответ: 1** *7.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{2 - \sqrt{x - 1}}$, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $2 + \sqrt{x - 1}$: $\frac{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})}{(2 - \sqrt{x - 1})(2 + \sqrt{x - 1})} = \frac{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})}{4 - (x - 1)} = \frac{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})}{5 - x} = \frac{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})}{-(x - 5)}$. Сократим $(x - 5)$: $-(2 + \sqrt{x - 1})$. Подставим $x = 5$: $-(2 + \sqrt{5 - 1}) = -(2 + \sqrt{4}) = -(2 + 2) = -4$. **Ответ: -4** *8.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to \sqrt{5}} \frac{x^4 - 25}{x^2 - 5}$, разложим числитель как разность квадратов: $x^4 - 25 = (x^2 - 5)(x^2 + 5)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(x^2 - 5)(x^2 + 5)}{x^2 - 5}$. Сократим $(x^2 - 5)$: $x^2 + 5$. Подставим $x = \sqrt{5}$: $(\sqrt{5})^2 + 5 = 5 + 5 = 10$. **Ответ: 10** *9.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^2 - 9}$, разложим знаменатель как разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)}$. Сократим $(x - 3)$: $\frac{1}{x + 3}$. Подставим $x = 3$: $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$. **Ответ: $\frac{1}{6}$** *10.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 - 25}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)$. Знаменатель: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(x - 5)(x - 3)}{(x - 5)(x + 5)}$. Сократим $(x - 5)$: $\frac{x - 3}{x + 5}$. Подставим $x = 5$: $\frac{5 - 3}{5 + 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. **Ответ: $\frac{1}{5}$** *11.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{5x^2 - 14x + 8}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: $3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2)$. Знаменатель: $5x^2 - 14x + 8 = (5x - 4)(x - 2)$. Теперь дробь выглядит так: $\frac{(3x - 2)(x - 2)}{(5x - 4)(x - 2)}$. Сократим $(x - 2)$: $\frac{3x - 2}{5x - 4}$. Подставим $x = 2$: $\frac{3 \cdot 2 - 2}{5 \cdot 2 - 4} = \frac{6 - 2}{10 - 4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. **Ответ: $\frac{2}{3}$** *12.* Чтобы найти предел $\lim_{x \to 6} \frac{x - 6}{\sqrt{x + 3} - 3}$, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{x + 3} + 3$: $\frac{(x - 6)(\sqrt{x + 3} + 3)}{(\sqrt{x + 3} - 3)(\sqrt{x + 3} + 3)} = \frac{(x - 6)(\sqrt{x + 3} + 3)}{(x + 3) - 9} = \frac{(x - 6)(\sqrt{x + 3} + 3)}{x - 6}$. Сократим $(x - 6)$: $\sqrt{x + 3} + 3$. Подставим $x = 6$: $\sqrt{6 + 3} + 3 = \sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6$. **Ответ: 6**