Ты просишь решить задачи по геометрии: найти BN в треугольнике ABC, если прямая параллельна стороне AC и MN=13, AC=65, NC=28.

Привет! Давай разберём эти задачки по геометрии вместе. 1. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Нужно найти $BN$, если $MN = 13$, $AC = 65$, $NC = 28$. Раз $MN$ параллельна $AC$, то треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны. Это значит, что их стороны пропорциональны. Тогда: $$\frac{MN}{AC} = \frac{NC}{BC}$$ $$\frac{13}{65} = \frac{28}{BC}$$ $$BC = \frac{28 \cdot 65}{13} = 140$$ Теперь найдём $BN$: $BN = BC - NC = 140 - 28 = 112$ **Ответ: $BN = 112$** 2. Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Нужно найти $MC$, если $AB = 13$, $DC = 65$, $AC = 42$. Раз $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, то треугольники $ABM$ и $CDM$ подобны. Значит, их стороны пропорциональны: $$\frac{AB}{DC} = \frac{AM}{MC}$$ $$\frac{13}{65} = \frac{AM}{MC}$$ $$\frac{1}{5} = \frac{AM}{MC}$$ Пусть $AM = x$, тогда $MC = 5x$. По условию, $AC = AM + MC = 42$, то есть $x + 5x = 42$. $6x = 42$ $x = 7$ $MC = 5x = 5 \cdot 7 = 35$ **Ответ: $MC = 35$** 3. Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Нужно найти длину отрезка $KP$, если $AP = 7$, а сторона $BC$ в $1,4$ раза меньше стороны $AB$. Допущение: $AB$ = 14, тогда $BC$ = 10 (14 / 1,4 = 10). Поскольку окружность проходит через точки $B$, $K$, $P$ и $C$, четырёхугольник $BCPK$ — вписанный. Значит, углы $AKP$ и $ABC$ равны (они опираются на одну и ту же дугу). Тогда треугольники $AKP$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $A$ общий). Из подобия треугольников следует: $$\frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC}$$ $$\frac{7}{14} = \frac{KP}{10}$$ $$KP = \frac{7 \cdot 10}{14} = 5$$ **Ответ: $KP = 5$**