Ты просишь меня решить уравнения из дидактических материалов по алгебре для 10 класса (номер 3.5).

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Я покажу тебе, как это делается шаг за шагом. 1. $$(4x + 3)(4x - 3) - (6x - 1)^2 + 18 = 0$$ Упростим выражение: $$16x^2 - 9 - (36x^2 - 12x + 1) + 18 = 0$$ $$16x^2 - 9 - 36x^2 + 12x - 1 + 18 = 0$$ $$-20x^2 + 12x + 8 = 0$$ Разделим на -4, чтобы упростить: $$5x^2 - 3x - 2 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4$$ **Ответ:** $x_1 = 1$, $x_2 = -0.4$ 2. $$\frac{x^2 - 49}{x + 7} = 0$$ Разложим числитель на множители: $$\frac{(x - 7)(x + 7)}{x + 7} = 0$$ Сократим $(x + 7)$: $$x - 7 = 0$$ $$x = 7$$ Но нужно проверить, что $x \neq -7$, иначе будет деление на ноль. В данном случае $x = 7$ не равен $-7$, поэтому это решение подходит. **Ответ:** $x = 7$ 3. $$x^2 + \frac{x}{4} - \frac{3 - 7x}{20} = 0.3$$ Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от дробей: $$20x^2 + 5x - (3 - 7x) = 6$$ $$20x^2 + 5x - 3 + 7x = 6$$ $$20x^2 + 12x - 9 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = (12)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-9) = 144 + 720 = 864$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-12 + \sqrt{864}}{2 \cdot 20} = \frac{-12 + \sqrt{864}}{40}$$ $$x_2 = \frac{-12 - \sqrt{864}}{2 \cdot 20} = \frac{-12 - \sqrt{864}}{40}$$ Упростим корень: $\sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6}$ $$x_1 = \frac{-12 + 12\sqrt{6}}{40} = \frac{-3 + 3\sqrt{6}}{10}$$ $$x_2 = \frac{-12 - 12\sqrt{6}}{40} = \frac{-3 - 3\sqrt{6}}{10}$$ **Ответ:** $x_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{6}}{10}$, $x_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{6}}{10}$ 4. $$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$$ Заменим $y = x^2$, тогда уравнение станет: $$y^2 - 4y - 5 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ Корни уравнения: $$y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Теперь вернемся к $x$: $x^2 = 5$ или $x^2 = -1$ $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$ $x^2 = -1$ не имеет действительных решений. **Ответ:** $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$ 5. $$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{3}{8}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{(x + 2) + (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3}{8}$$ $$\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{3}{8}$$ $$16x = 3(x^2 - 4)$$ $$16x = 3x^2 - 12$$ $$3x^2 - 16x - 12 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$$ $$x_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ **Ответ:** $x_1 = 6$, $x_2 = -\frac{2}{3}$ 6. $$\frac{1}{2x^2 - 3x - 9} + \frac{3}{x^2 - x - 6} = \frac{x}{2x^2 + 7x + 6}$$ Разложим знаменатели на множители: $$2x^2 - 3x - 9 = (2x + 3)(x - 3)$$ $$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ $$2x^2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2)$$ Теперь перепишем уравнение: $$\frac{1}{(2x + 3)(x - 3)} + \frac{3}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{x}{(2x + 3)(x + 2)}$$ Приведем дроби к общему знаменателю $(2x + 3)(x - 3)(x + 2)$: $$\frac{(x + 2) + 3(2x + 3)}{(2x + 3)(x - 3)(x + 2)} = \frac{x(x - 3)}{(2x + 3)(x - 3)(x + 2)}$$ Упростим числитель: $$x + 2 + 6x + 9 = x^2 - 3x$$ $$7x + 11 = x^2 - 3x$$ $$x^2 - 10x - 11 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Дискриминант ($D$) равен: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144$$ Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ $$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Нужно проверить, что $x \neq -\frac{3}{2}$, $x \neq 3$ и $x \neq -2$. Оба корня удовлетворяют этим условиям. **Ответ:** $x_1 = 11$, $x_2 = -1