Ты просишь доказать, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA = ∠DAC.

Чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны или противоположные углы равны. а) Если $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$, то: 1. $\ \angle BAC = \angle ACD$ говорит о том, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны (т.к. $\angle BAC$ и $\angle ACD$ - накрест лежащие углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $AC$). 2. $\angle BCA = \angle DAC$ говорит о том, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны (т.к. $\angle BCA$ и $\angle DAC$ - накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$). Итак, у четырёхугольника $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, а это значит, что он является параллелограммом. б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$, то: 1. Проведём диагональ $BD$. Она разделит четырёхугольник на два треугольника: $ABD$ и $CDB$. 2. Рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$. Они являются накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$. Значит, $\angle ABD = \angle CDB$. 3. Теперь рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$. У них: * Сторона $BD$ — общая. * $\angle A = \angle C$ (дано). * $\angle ABD = \angle CDB$ (доказали). Следовательно, треугольники $ABD$ и $CDB$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $\angle ADB = \angle CBD$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$. Значит, $AD \parallel BC$. Итак, у четырёхугольника $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны, а это значит, что он является параллелограммом.