Помоги мне решить уравнение: a) x/(x-3) - 5/(x+3) = 18/(x²-9)

a) Для решения уравнения $\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$ нужно привести все дроби к общему знаменателю, который равен $(x-3)(x+3)$. Домножаем каждую дробь на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель: $\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)}$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно приравнять числители: $x(x+3) - 5(x-3) = 18$ Раскрываем скобки: $x^2 + 3x - 5x + 15 = 18$ Приводим подобные слагаемые: $x^2 - 2x + 15 = 18$ Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 2x - 3 = 0$ Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно разложить на множители: $(x - 3)(x + 1) = 0$ Отсюда находим корни: $x = 3$ или $x = -1$ Теперь нужно проверить, не являются ли корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль. Если $x = 3$, то знаменатель $x - 3$ обращается в ноль, значит, $x = 3$ - посторонний корень. Итак, остаётся только один корень: **Ответ: $x = -1$** б) Для решения уравнения $\frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4}$ приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(x^2 - 16)$ или $(x-4)(x+4)$. Домножаем каждую дробь на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель: $\frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)}$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно приравнять числители: $70 - 17(x+4) = 3x(x-4)$ Раскрываем скобки: $70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x$ Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $3x^2 - 12x + 17x - 70 + 68 = 0$ $3x^2 + 5x - 2 = 0$ Теперь нужно решить квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$ Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ Проверяем, не являются ли корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль. Оба корня, $x = \frac{1}{3}$ и $x = -2$, не обращают знаменатель в ноль. **Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}$, $x_2 = -2$** в) Для решения уравнения $\frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4}$, заметим, что $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$, а $(2-x)^2 = (x-2)^2$. Тогда перепишем уравнение: $\frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)}$ Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(x-2)^2(x+2)^2$. Домножаем каждую дробь на соответствующие множители: $\frac{3(x+2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2} - \frac{5(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2} = \frac{14(x-2)(x+2)}{(x-2)^2(x+2)^2}$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно приравнять числители: $3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2)$ Раскрываем скобки: $3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 14(x^2 - 4)$ $3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56$ Приводим подобные слагаемые и переносим все в одну сторону: $3x^2 - 5x^2 - 14x^2 + 12x + 20x + 12 - 20 + 56 = 0$ $-16x^2 + 32x + 48 = 0$ Разделим обе части на -16: $x^2 - 2x - 3 = 0$ Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно разложить на множители: $(x - 3)(x + 1) = 0$ Отсюда находим корни: $x = 3$ или $x = -1$ Теперь нужно проверить, не являются ли корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль. Если $x = 3$, то знаменатель $(x-2)$ не обращается в ноль. Если $x = -1$, то знаменатель $(x+2)$ не обращается в ноль. Следовательно, оба корня подходят. **Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$** г) Для решения уравнения $\frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0$, разложим знаменатели на множители: $4 - x^2 = (2-x)(2+x) = -(x-2)(x+2)$ $2x - 4 = 2(x-2)$ $2x^2 + 4x = 2x(x+2)$ Теперь перепишем уравнение с учетом разложения на множители: $\frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0$ Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $2x(x-2)(x+2)$. Домножаем каждую дробь на соответствующие множители: $\frac{2 \cdot (-2x)}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (-x(x+2))}{2x(x-2)(x+2)} - \frac{7 \cdot (-(x-2))}{2x(x-2)(x+2)} = 0$ Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно приравнять числители: $-4x + x(x+2) + 7(x-2) = 0$ Раскрываем скобки: $-4x + x^2 + 2x + 7x - 14 = 0$ Приводим подобные слагаемые: $x^2 + 5x - 14 = 0$ Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь удобно разложить на множители: $(x + 7)(x - 2) = 0$ Отсюда находим корни: $x = -7$ или $x = 2$ Теперь нужно проверить, не являются ли корни посторонними, то есть не обращают ли знаменатель в ноль. Если $x = 2$, то знаменатель $(x-2)$ обращается в ноль, значит, $x = 2$ - посторонний корень. Итак, остаётся только один корень: **Ответ: $x = -7$**