Выполни действия и преобразуй в дробь выражение.

Задание 66. a) Давай упростим выражение. Заметим, что $(5-x)^2 = (x-5)^2$, так как квадрат «съедает» минус. Тогда $$\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x^2 - 25}{(x-5)^2}.$$ Теперь разложим числитель как разность квадратов: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$. Получаем $$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2} = \frac{x+5}{x-5}$$. Вот и всё! б) Здесь похожая история. Сначала заменим $(5-x)^3$ на $-(x-5)^3$. Тогда выражение станет таким: $$\frac{x^2+25}{(x-5)^3} + \frac{10x}{(5-x)^3} = \frac{x^2+25}{(x-5)^3} - \frac{10x}{(x-5)^3} = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^3}.$$ А теперь заметим, что числитель — это полный квадрат: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$. Значит, $$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3} = \frac{1}{x-5}$$. Задание 67. а) Нужно упростить выражение: $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$. Так как знаменатели одинаковые, можно сразу объединить дроби: $$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2-16}$$. Числитель — это полный квадрат: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$. А знаменатель — разность квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Тогда: $$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{x+4}$$. б) $\frac{64 - 2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(8-a)^2}$. Заметим, что $(a-8)^2 = (8-a)^2$, потому что квадрат убирает минус. Тогда: $$\frac{64 - 2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab - a^2}{(a-8)^2} = \frac{64 - 2ab + 2ab - a^2}{(a-8)^2} = \frac{64 - a^2}{(a-8)^2}$$. Теперь разложим числитель как разность квадратов: $64 - a^2 = (8-a)(8+a)$. Значит, $$\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2} = \frac{-(a-8)(8+a)}{(a-8)^2} = -\frac{8+a}{a-8}$$.