Как найти область значений функции (3x+1)/(2x+3)?

Привет! Давай разберемся, как найти область значений функции, заданной выражением $\frac{3x+1}{2x+3}$. Чтобы найти область значений, нам нужно понять, какие значения может принимать $y = \frac{3x+1}{2x+3}$. 1. **Найдем область определения функции.** Сначала определим, при каких значениях $x$ функция существует. Дробь не существует, когда знаменатель равен нулю. Значит, нужно исключить такие $x$, при которых $2x + 3 = 0$. Решим это уравнение: $$2x + 3 = 0$$ $$2x = -3$$ $$x = -\frac{3}{2}$$ Таким образом, $x$ не может быть равен $-\frac{3}{2}$. 2. **Найдем область значений функции.** Теперь посмотрим, какие значения может принимать $y$. Для этого выразим $x$ через $y$: $$y = \frac{3x+1}{2x+3}$$ $$y(2x+3) = 3x+1$$ $$2xy + 3y = 3x + 1$$ Теперь сгруппируем члены с $x$ в одной стороне уравнения: $$2xy - 3x = 1 - 3y$$ Вынесем $x$ за скобки: $$x(2y - 3) = 1 - 3y$$ Теперь выразим $x$: $$x = \frac{1 - 3y}{2y - 3}$$ 3. **Определим ограничения на $y$.** Как и раньше, знаменатель не может быть равен нулю: $$2y - 3 \neq 0$$ $$2y \neq 3$$ $$y \neq \frac{3}{2}$$ Получается, что $y$ может быть любым числом, кроме $\frac{3}{2}$. **Ответ:** Область значений функции: $y \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$. Это значит, что $y$ может принимать любые значения, кроме $\frac{3}{2}$.