Реши задачу 482: Докажи, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Задача 482. Чтобы доказать, что $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Диагонали параллелограмма $ABCD$ точкой пересечения $O$ делятся пополам. $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ — середины отрезков $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ соответственно. Значит, $OA_1 = \frac{1}{2}OA$, $OB_1 = \frac{1}{2}OB$, $OC_1 = \frac{1}{2}OC$, $OD_1 = \frac{1}{2}OD$. Рассмотрим треугольники $OAB$ и $ODC$. В них $A_1B_1$ и $C_1D_1$ — средние линии, так как соединяют середины сторон. Средняя линия треугольника параллельна основанию, следовательно, $A_1B_1 || AB$ и $C_1D_1 || CD$. Так как $AB || CD$ (по свойству параллелограмма), то $A_1B_1 || C_1D_1$. Аналогично доказывается, что $B_1C_1 || A_1D_1$. Таким образом, в четырёхугольнике $A_1B_1C_1D_1$ противоположные стороны попарно параллельны, что и требовалось доказать. Задача 483. Чтобы доказать, что $APCQ$ — параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $PB = QD$. Доказательство: 1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB || CD$ и $AB = CD$. 2. Так как $PB = QD$, то $AP = CQ$ (так как $AP = AB - PB$ и $CQ = CD - QD$). 3. Рассмотрим четырёхугольник $APCQ$. В нём $AP || CQ$ (так как $AB || CD$) и $AP = CQ$. Значит, $APCQ$ — параллелограмм по признаку (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм). Задача 484. Свойство средней линии треугольника: 1. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон. 2. Средняя линия треугольника равна половине этой стороны. Задача 485. Признак средней линии треугольника: Если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то он является средней линией этого треугольника.