Реши уравнение $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! a) $\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1$ Чтобы решить это уравнение, нужно сначала избавиться от дробей. Для этого приведём всё к общему знаменателю, который будет $(x+2)(x-2)$. Домножим каждую часть уравнения на этот знаменатель: $\frac{(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2)}{(x+2)(x-2)} = 1$ Упростим числитель: $\frac{3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2}{(x+2)(x-2)} = 1$ $\frac{2x^2 - 6x}{(x+2)(x-2)} = 1$ Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $(x+2)(x-2)$: $2x^2 - 6x = (x+2)(x-2)$ $2x^2 - 6x = x^2 - 4$ Перенесём всё в одну сторону: $2x^2 - 6x - x^2 + 4 = 0$ $x^2 - 6x + 4 = 0$ Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$ Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$ **Ответ: $x_1 = 3 + \sqrt{5}$, $x_2 = 3 - \sqrt{5}$** б) $\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5$ Приведём дроби к общему знаменателю $(y+3)(y-3)$: $\frac{(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3)}{(y+3)(y-3)} = 5$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 6y + 9}{(y+3)(y-3)} = 5$ Упростим числитель: $\frac{3y^2 - 2y + 15}{(y+3)(y-3)} = 5$ Умножим обе части на $(y+3)(y-3)$: $3y^2 - 2y + 15 = 5(y+3)(y-3)$ $3y^2 - 2y + 15 = 5(y^2 - 9)$ $3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$ Перенесём всё в одну сторону: $2y^2 + 2y - 60 = 0$ Разделим на 2: $y^2 + y - 30 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$ $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ **Ответ: $y_1 = 5$, $y_2 = -6$** в) $\frac{4}{9y^2-1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}$ Заметим, что $9y^2 - 1 = (3y+1)(3y-1)$, а $1-3y = -(3y-1)$. Перепишем уравнение: $\frac{4}{(3y+1)(3y-1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}$ Приведём к общему знаменателю $(3y+1)(3y-1)$: $\frac{4 - 4(3y-1)}{(3y+1)(3y-1)} = -\frac{5(3y+1)}{(3y+1)(3y-1)}$ Упростим числитель: $4 - 12y + 4 = -15y - 5$ $-12y + 8 = -15y - 5$ Перенесём всё в одну сторону: $3y = -13$ $y = -\frac{13}{3}$ **Ответ: $y = -\frac{13}{3}$** г) $\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1$ Заметим, что $3-x = -(x-3)$. Перепишем уравнение: $\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1$ Приведём к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$: $\frac{4(x-3) + 5(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{1(x+3) - (x+3)(x-3)}{(x+3)(x-3)}$ Упростим числитель: $4x - 12 + 5x + 15 = x + 3 - (x^2 - 9)$ $9x + 3 = x + 3 - x^2 + 9$ $9x + 3 = -x^2 + x + 12$ Перенесём всё в одну сторону: $x^2 + 8x - 9 = 0$ Решим квадратное уравнение: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$** д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x}$ Заметим, что $x^2 - x = x(x-1)$. Приведём к общему знаменателю $x(x-1)$: $\frac{3(x-1) + 4x}{x(x-1)} = \frac{5-x}{x(x-1)}$ Упростим числитель: $3x - 3 + 4x = 5 - x$ $7x - 3 = 5 - x$ Перенесём всё в одну сторону: $8x = 8$ $x = 1$ Однако, если $x = 1$, то знаменатель $x-1$ становится равным нулю, что недопустимо. Значит, решения нет. **Ответ: Решений нет** е) $\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}$ Заметим, что $y^2 - 2y = y(y-2)$. Приведём к общему знаменателю $y(y-2)$: $\frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)}$ Упростим числитель: $3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4$ $3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4$ Перенесём всё в одну сторону: $3y^2 - 12y = 0$ $3y(y - 4) = 0$ Значит, $y = 0$ или $y = 4$. Однако, если $y = 0$, то знаменатель $y$ становится равным нулю, что недопустимо. Значит, остаётся только $y = 4$. **Ответ: $y = 4$**