Реши уравнения: a) (3x + 1) / (x + 2) - (x - 1) / (x - 2) = 1

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! а) $\frac{3x + 1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 1$ Домножим обе части уравнения на $(x + 2)(x - 2)$, чтобы избавиться от дробей: $(3x + 1)(x - 2) - (x - 1)(x + 2) = (x + 2)(x - 2)$ Раскроем скобки: $(3x^2 - 6x + x - 2) - (x^2 + 2x - x - 2) = x^2 - 4$ Упростим выражение: $3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2 = x^2 - 4$ $2x^2 - 6x = x^2 - 4$ Перенесем все в левую часть: $2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0$ $x^2 - 6x + 4 = 0$ Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$ Так как дискриминант больше нуля, у нас будет два корня: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$ **Ответ: $x_1 = 3 + \sqrt{5}$, $x_2 = 3 - \sqrt{5}$** б) $\frac{2y - 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5$ Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение. Общий знаменатель: $(y + 3)(y - 3)$. $\frac{(2y - 2)(y - 3) + (y + 3)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)} = 5$ Раскроем скобки в числителе: $\frac{2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 6y + 9}{y^2 - 9} = 5$ Упростим числитель: $\frac{3y^2 - 2y + 15}{y^2 - 9} = 5$ Умножим обе части уравнения на $(y^2 - 9)$: $3y^2 - 2y + 15 = 5(y^2 - 9)$ $3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $0 = 2y^2 + 2y - 60$ Разделим обе части на 2: $y^2 + y - 30 = 0$ Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121$ Найдем корни: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ **Ответ: $y_1 = 5$, $y_2 = -6$** в) $\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{1 - 3y}$ Разложим знаменатель первой дроби: $9y^2 - 1 = (3y - 1)(3y + 1)$ Изменим знак в знаменателе последней дроби, чтобы получить общий множитель: $\frac{4}{(3y - 1)(3y + 1)} - \frac{4}{3y + 1} = -\frac{5}{3y - 1}$ Приведем дроби к общему знаменателю $(3y - 1)(3y + 1)$: $\frac{4 - 4(3y - 1) + 5(3y + 1)}{(3y - 1)(3y + 1)} = 0$ Упростим числитель: $4 - 12y + 4 + 15y + 5 = 0$ $3y + 13 = 0$ $3y = -13$ $y = -\frac{13}{3}$ **Ответ: $y = -\frac{13}{3}$** г) $\frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1$ Заметим, что $3 - x = -(x - 3)$. Изменим знак у второй дроби: $\frac{4}{x + 3} + \frac{5}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} - 1$ Перенесем все дроби в одну сторону: $\frac{4}{x + 3} + \frac{5}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} + 1 = 0$ $\frac{4}{x + 3} + \frac{4}{x - 3} + 1 = 0$ Приведем к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3)$: $\frac{4(x - 3) + 4(x + 3) + (x + 3)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 0$ $\frac{4x - 12 + 4x + 12 + x^2 - 9}{x^2 - 9} = 0$ Упростим числитель: $\frac{x^2 + 8x - 9}{x^2 - 9} = 0$ Решим квадратное уравнение $x^2 + 8x - 9 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$ Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -9$** д) $\frac{3}{x} + \frac{4}{x - 1} = \frac{5 - x}{x^2 - x}$ Разложим знаменатель правой части: $x^2 - x = x(x - 1)$ Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 1)$: $\frac{3(x - 1) + 4x}{x(x - 1)} = \frac{5 - x}{x(x - 1)}$ Упростим числитель: $\frac{3x - 3 + 4x}{x(x - 1)} = \frac{5 - x}{x(x - 1)}$ $\frac{7x - 3}{x(x - 1)} = \frac{5 - x}{x(x - 1)}$ Так как знаменатели равны, приравняем числители: $7x - 3 = 5 - x$ $8x = 8$ $x = 1$ Но $x = 1$ не подходит, так как в знаменателе будет ноль. Значит, уравнение не имеет решений. **Ответ: нет решений** е) $\frac{3y - 2}{y} - \frac{1}{y - 2} = \frac{3y + 4}{y^2 - 2y}$ Разложим знаменатель правой части: $y^2 - 2y = y(y - 2)$ Приведем дроби к общему знаменателю $y(y - 2)$: $\frac{(3y - 2)(y - 2) - y}{y(y - 2)} = \frac{3y + 4}{y(y - 2)}$ Упростим числитель: $\frac{3y^2 - 6y - 2y + 4 - y}{y(y - 2)} = \frac{3y + 4}{y(y - 2)}$ $\frac{3y^2 - 9y + 4}{y(y - 2)} = \frac{3y + 4}{y(y - 2)}$ Так как знаменатели равны, приравняем числители: $3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4$ $3y^2 - 12y = 0$ $3y(y - 4) = 0$ $y = 0$ или $y = 4$ Но $y = 0$ не подходит, так как в знаменателе будет ноль. Значит, $y = 4$. **Ответ: $y = 4$**