Конечно, давай разберёмся с этими заданиями!
2. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить, что такое целые и дробные выражения. Целые выражения не содержат деления на переменную, а дробные — содержат.
а) Целые выражения: $7x^2 - 2xy$, $a(a - b) - \frac{b}{3a}$ (хоть и с дробью, но переменной в знаменателе нет), $\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{3}n^2$, $a-8$
б) Дробные выражения: $\frac{a}{9}$, $\frac{12}{b}$, $\frac{a}{a+3}$
3. Чтобы найти значение дроби $\frac{y-1}{4}$, нужно просто подставить вместо $y$ каждое из данных значений:
* Если $y = 3$, то $\frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
* Если $y = 1$, то $\frac{1-1}{4} = \frac{0}{4} = 0$
* Если $y = -5$, то $\frac{-5-1}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
* Если $y = \frac{1}{2}$, то $\frac{\frac{1}{2}-1}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{8} = -0,125$
* Если $y = -1,6$, то $\frac{-1,6-1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$
* Если $y = 100$, то $\frac{100-1}{4} = \frac{99}{4} = 24,75$
4. a) Подставляем $a = -2$ в выражение $\frac{a-8}{2a+5}$:
$$\frac{-2-8}{2(-2)+5} = \frac{-10}{-4+5} = \frac{-10}{1} = -10$$
б) Подставляем $b = 3$ в выражение $\frac{b^2+6}{2b}$:
$$\frac{3^2+6}{2(3)} = \frac{9+6}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$$
5. a) Подставляем $a = -3$ и $b = -1$ в выражение $\frac{(a+b)^2-1}{a^2+1}$:
$$\frac{(-3+(-1))^2-1}{(-3)^2+1} = \frac{(-4)^2-1}{9+1} = \frac{16-1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$$
б) Подставляем $a = 1\frac{1}{2} = 1,5$ и $b = 0,5$ в выражение $\frac{(a+b)^2-1}{a^2+1}$:
$$\frac{(1,5+0,5)^2-1}{(1,5)^2+1} = \frac{(2)^2-1}{2,25+1} = \frac{4-1}{3,25} = \frac{3}{3,25} = \frac{3}{\frac{13}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{13} = \frac{12}{13} \approx 0,92$$
6. Чтобы заполнить таблицу, нужно вычислить значение выражения $\frac{x+5}{x-3}$ для каждого значения $x$:
* Если $x = -13$, то $\frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = 0,5$
* Если $x = -5$, то $\frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$
* Если $x = -0,2$, то $\frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -1,5$
* Если $x = 0$, то $\frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
* Если $x = \frac{1}{17}$, то $\frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{86}{17}}{\frac{-50}{17}} = -\frac{86}{50} = -1,72$
* Если $x = 1$, то $\frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$
* Если $x = 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$, то $\frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = 4$
* Если $x = 7$, то $\frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$
7. а) Если $v = \frac{s}{t}$, то чтобы выразить $s$ через $v$ и $t$, нужно умножить обе части уравнения на $t$:
$$s = v \cdot t$$
Чтобы выразить $t$ через $s$ и $v$, нужно разделить обе части уравнения на $v$:
$$t = \frac{s}{v}$$
б) Если $\rho = \frac{m}{V}$, то чтобы выразить $V$ через $\rho$ и $m$, нужно сначала умножить обе части уравнения на $V$, а затем разделить на $\rho$:
$$V = \frac{m}{\rho}$$
8. Чтобы выразить время $t$, когда два поезда встретятся, нужно знать общее расстояние $s$ и скорости поездов $v_1$ и $v_2$. Время встречи можно найти по формуле:
$$t = \frac{s}{v_1 + v_2}$$
а) Если $s = 250$, $v_1 = 60$, $v_2 = 40$, то:
$$t = \frac{250}{60 + 40} = \frac{250}{100} = 2,5$$
б) Если $s = 310$, $v_1 = 75$, $v_2 = 80$, то:
$$t = \frac{310}{75 + 80} = \frac{310}{155} = 2$$
9. а) Дробь, у которой числитель — произведение $x$ и $y$, а знаменатель — их сумма, выглядит так:
$$\frac{xy}{x+y}$$
б) Дробь, у которой числитель — разность $a$ и $b$, а знаменатель — их произведение, выглядит так:
$$\frac{a-b}{ab}$$
в) Дробь, у которой числитель — сумма $c$ и $d$, а знаменатель — их разность, выглядит так:
$$\frac{c+d}{c-d}$$
10. Чтобы рациональное выражение имело смысл, нужно, чтобы знаменатель не был равен нулю.
а) Выражение $\frac{x}{x-2}$ имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x = 2$, так как при $x = 2$ знаменатель обращается в нуль.
б) Выражение $\frac{b+4}{b^2+7}$ имеет смысл при всех значениях $b$, так как $b^2+7$ всегда больше нуля.
в) Выражение $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$ имеет смысл при всех значениях $y$, кроме $y = 0$ и $y = 3$, так как при этих значениях знаменатели обращаются в нуль.
г) Выражение $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$ имеет смысл при всех значениях $a$, кроме $a = 0$ и $a = 1$, так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль.
