Ты просишь меня решить задачу 820: окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках P и Q, BP = CQ. Докажи, что треугольник ABC равнобедренный.

Привет! Давай разберёмся с задачей 820 вместе. Она про окружность и треугольник. **Дано:** * Окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$. * Окружность пересекает сторону $BC$ в точках $P$ и $Q$. * $BP = CQ$. **Нужно доказать:** Треугольник $ABC$ равнобедренный. **Доказательство:** Докажем, что углы при основании $BC$ равны, то есть $\angle B = \angle C$. 1. Так как $BP = CQ$, отложим на стороне $BC$ отрезок $BK = CQ$. Тогда $BP = BK$. 2. Проведём окружность через точки $B$, $P$, $K$. Она коснётся стороны $AB$ в точке $B$, так как $BP = BK$. 3. $\angle PBK = \angle B$, так как $BK$ - касательная к окружности. 4. Аналогично, можно провести окружность через точки $C$, $Q$ и точку касания со стороной $AC$. Угол между касательной и стороной $BC$ будет равен углу $C$. 5. Так как $BP = CQ$, а окружности касаются сторон $AB$ и $AC$, то углы $\angle B$ и $\angle C$ равны. 6. Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный, так как углы при основании $BC$ равны. **Вывод:** Треугольник $ABC$ равнобедренный.