Ты просишь решить уравнения методом введения новой переменной: а) x² + 2x - 2√(x² + 2x) = 3

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! а) $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3$ Введем новую переменную: $t = \sqrt{x^2 + 2x}$, тогда $t^2 = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 3 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Корни: $t_1 = 3, t_2 = -1$ Возвращаемся к исходной переменной: 1) $\sqrt{x^2 + 2x} = 3$ $x^2 + 2x = 9$ $x^2 + 2x - 9 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $x$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$ $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$ 2) $\sqrt{x^2 + 2x} = -1$ (не имеет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным) **Ответ:** $x_1 = -1 + \sqrt{10}$, $x_2 = -1 - \sqrt{10}$ б) $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$ Введем новую переменную: $t = \sqrt{x^2 + 6x}$, тогда $t^2 = x^2 + 6x$. Уравнение примет вид: $t^2 + 24 = 10t$ $t^2 - 10t + 24 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $t$. Корни: $t_1 = 6, t_2 = 4$ Возвращаемся к исходной переменной: 1) $\sqrt{x^2 + 6x} = 6$ $x^2 + 6x = 36$ $x^2 + 6x - 36 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $x$: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 36 + 144 = 180$ $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{180}}{2} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$ 2) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4$ $x^2 + 6x = 16$ $x^2 + 6x - 16 = 0$ Решаем квадратное уравнение относительно $x$: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2}$ $x_3 = \frac{-6 + 10}{2} = 2$ $x_4 = \frac{-6 - 10}{2} = -8$ **Ответ:** $x_1 = -3 + 3\sqrt{5}$, $x_2 = -3 - 3\sqrt{5}$, $x_3 = 2$, $x_4 = -8$ В обоих случаях мы ввели новую переменную, чтобы упростить уравнения. Решили квадратные уравнения относительно новой переменной, а затем вернулись к исходной переменной и нашли корни исходных уравнений.