Реши уравнение x² - 2x - 2/x + 1/x² - 6 = 0

Конечно, давай попробуем решить это уравнение вместе! Для начала, запишем уравнение: $$x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 6 = 0$$ Чтобы было проще, давай сгруппируем похожие члены: $$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 6 = 0$$ Теперь сделаем замену. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, и значит, $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Подставим это в наше уравнение: $$(t^2 - 2) - 2t - 6 = 0$$ Упростим: $$t^2 - 2t - 8 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можем использовать формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -2$, $c = -8$. $$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$ Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$ Теперь вернёмся к замене и решим два уравнения: 1) $x + \frac{1}{x} = 4$ 2) $x + \frac{1}{x} = -2$ Решим первое уравнение: $$x + \frac{1}{x} = 4$$ $$x^2 + 1 = 4x$$ $$x^2 - 4x + 1 = 0$$ Используем формулу дискриминанта для этого уравнения: $D = b^2 - 4ac$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$. $$D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$$ Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{12}}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$$ Решим второе уравнение: $$x + \frac{1}{x} = -2$$ $$x^2 + 1 = -2x$$ $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ Это можно записать как $(x + 1)^2 = 0$, значит, $x = -1$. Итак, у нас три корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$, $x_2 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_3 = -1$. **Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$, $x_2 = 2 - \sqrt{3}$, $x_3 = -1$**