Ты просишь сравнить числа a и b, если а) a = √3 + 1, b = √5

a) Давай сравним $a = \sqrt{3} + 1$ и $b = \sqrt{5}$. Чтобы было проще сравнивать, давай возведем оба числа в квадрат: $a^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$ $b^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ Теперь сравним $4 + 2\sqrt{3}$ и $5$. Для этого вычтем 4 из обеих частей: $2\sqrt{3}$ и $1$ Возведем в квадрат еще раз: $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ $1^2 = 1$ Так как $12 > 1$, то $2\sqrt{3} > 1$, значит, $4 + 2\sqrt{3} > 5$, и, следовательно, $a^2 > b^2$. Поэтому $a > b$. б) $a = \sqrt{17} - \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{19} - \sqrt{7}$. $a^2 = (\sqrt{17} - \sqrt{5})^2 = 17 - 2\sqrt{17 \cdot 5} + 5 = 22 - 2\sqrt{85}$ $b^2 = (\sqrt{19} - \sqrt{7})^2 = 19 - 2\sqrt{19 \cdot 7} + 7 = 26 - 2\sqrt{133}$ Теперь сравним $22 - 2\sqrt{85}$ и $26 - 2\sqrt{133}$. Перенесем числа без корней в одну сторону, а с корнями в другую: $2\sqrt{133} - 2\sqrt{85}$ и $4$ Разделим обе части на 2: $\sqrt{133} - \sqrt{85}$ и $2$ Теперь возведем в квадрат: $(\sqrt{133} - \sqrt{85})^2 = 133 - 2\sqrt{133 \cdot 85} + 85 = 218 - 2\sqrt{11305}$ $2^2 = 4$ Сравним $218 - 2\sqrt{11305}$ и $4$: $214$ и $2\sqrt{11305}$ Разделим на 2: $107$ и $\sqrt{11305}$ Возведем в квадрат: $107^2 = 11449$ $(\sqrt{11305})^2 = 11305$ Так как $11449 > 11305$, то $a > b$. в) $a = \sqrt{3} - \sqrt{41}$ и $b = \sqrt{5} - \sqrt{43}$. Тут сразу видно, что оба числа отрицательные, потому что корень из меньшего числа вычитается из корня большего числа. Поэтому можно сравнить их модули (абсолютные значения). Чем больше модуль, тем меньше число. $|a| = \sqrt{41} - \sqrt{3}$ $|b| = \sqrt{43} - \sqrt{5}$ Возведем в квадрат: $|a|^2 = (\sqrt{41} - \sqrt{3})^2 = 41 - 2\sqrt{41 \cdot 3} + 3 = 44 - 2\sqrt{123}$ $|b|^2 = (\sqrt{43} - \sqrt{5})^2 = 43 - 2\sqrt{43 \cdot 5} + 5 = 48 - 2\sqrt{215}$ Теперь сравним $44 - 2\sqrt{123}$ и $48 - 2\sqrt{215}$. $- 2\sqrt{123} +2\sqrt{215}$ и $4$ Разделим на 2: $-\sqrt{123} + \sqrt{215}$ и $2$ Перенесем: $\sqrt{215}$ и $2 + \sqrt{123}$ Возведем в квадрат: $(\sqrt{215})^2 = 215$ $(2 + \sqrt{123})^2 = 4 + 4\sqrt{123} + 123 = 127 + 4\sqrt{123}$ Сравним $215$ и $127 + 4\sqrt{123}$: $88$ и $4\sqrt{123}$ Разделим на 4: $22$ и $\sqrt{123}$ Возведем в квадрат: $22^2 = 484$ $(\sqrt{123})^2 = 123$ Так как $484 > 123$, то $|b| > |a|$, значит $b < a$. г) $a = \sqrt{13}$ и $b = \sqrt{7} + 2$. Возведем в квадрат: $a^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$ $b^2 = (\sqrt{7} + 2)^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$ Сравним $13$ и $11 + 4\sqrt{7}$: $2$ и $4\sqrt{7}$ Разделим на 2: $1$ и $2\sqrt{7}$ Возведем в квадрат: $1^2 = 1$ $(2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$ Так как $1 < 28$, то $a < b$. д) $a = \sqrt{29} + \sqrt{13}$ и $b = \sqrt{31} + \sqrt{11}$. Возведем в квадрат: $a^2 = (\sqrt{29} + \sqrt{13})^2 = 29 + 2\sqrt{29 \cdot 13} + 13 = 42 + 2\sqrt{377}$ $b^2 = (\sqrt{31} + \sqrt{11})^2 = 31 + 2\sqrt{31 \cdot 11} + 11 = 42 + 2\sqrt{341}$ Теперь сравним $42 + 2\sqrt{377}$ и $42 + 2\sqrt{341}$. $2\sqrt{377}$ и $2\sqrt{341}$ Разделим на 2: $\sqrt{377}$ и $\sqrt{341}$ Возведем в квадрат: $(\sqrt{377})^2 = 377$ $(\sqrt{341})^2 = 341$ Так как $377 > 341$, то $a > b$. е) $a = \sqrt{23} - \sqrt{73}$ и $b = \sqrt{17} - \sqrt{67}$. Тут сразу видно, что оба числа отрицательные, потому что корень из меньшего числа вычитается из корня большего числа. Поэтому можно сравнить их модули (абсолютные значения). Чем больше модуль, тем меньше число. $|a| = \sqrt{73} - \sqrt{23}$ $|b| = \sqrt{67} - \sqrt{17}$ Возведем в квадрат: $|a|^2 = (\sqrt{73} - \sqrt{23})^2 = 73 - 2\sqrt{73 \cdot 23} + 23 = 96 - 2\sqrt{1679}$ $|b|^2 = (\sqrt{67} - \sqrt{17})^2 = 67 - 2\sqrt{67 \cdot 17} + 17 = 84 - 2\sqrt{1139}$ Теперь сравним $96 - 2\sqrt{1679}$ и $84 - 2\sqrt{1139}$. $12$ и $2\sqrt{1679} - 2\sqrt{1139}$ Разделим на 2: $6$ и $\sqrt{1679} - \sqrt{1139}$ Перенесем: $6 + \sqrt{1139}$ и $\sqrt{1679}$ Возведем в квадрат: $(6 + \sqrt{1139})^2 = 36 + 12\sqrt{1139} + 1139 = 1175 + 12\sqrt{1139}$ $(\sqrt{1679})^2 = 1679$ Сравним $1175 + 12\sqrt{1139}$ и $1679$: $12\sqrt{1139}$ и $504$ Разделим на 12: $\sqrt{1139}$ и $42$ Возведем в квадрат: $(\sqrt{1139})^2 = 1139$ $42^2 = 1764$ Так как $1139 < 1764$, то $|a| < |b|$, значит $a > b$. **Ответ:** a) $a > b$ б) $a > b$ в) $b < a$ г) $a < b$ д) $a > b$ е) $a > b$